MACHOVO ČÍSLO A EFEKTY PŘI PROUDĚNÍ VYSOKÝMI RYCHLOSTMI

Úvod

Definice Machova čísla

Rychlost zvuku

Stlačitelnost

Machovo číslo je definováno jako poměr rychlosti proudu ku rychlosti šíření zvuku v tekutině (Rovnice 1). Jestliže Machovo číslo dosáhne takové velikosti, při které už pro danou aplikaci nelze uvažovat tekutinu za nestlačitelnou, pak takovou rychlost označuje v aerodynamice za vysokou. Stlačitelnost totiž způsobuje efekty v proudění, které se při proudění nestlačitelných tekutin nebo nízkých Machových číslech nevyskytují. Právě o obecných projevech vlastností stlačitelných tekutin při proudění pojednává tento článek.

a [m·s^-1] rychlost šíření zvuku ve vyšetřovaném kontinuu; M [Mach] Machovo číslo; p [Pa] tlak; r [J·kg^-1·K^-1] individuální plynová konstanta; T [K] absolutní teplota plynu (statická teplota); V [m·s^-1] rychlost tělesa nebo proudění; ρ [kg·m^-3] hustota; κ [1] poměr tepelných kapacit. Odvození rovnice pro rychlost zvuku je v Příloze 3.

Podzvukové proudění

Transonické proudění

Zvukové proudění

Nadzvukové proudění

Jestliže je v okolí vyšetřovaného bodu tekutiny Machovo číslo menší než jedna (M<1), pak mluvíme o podzvukovém (subsonických) proudění. Jestliže se v okolí vyšetřovaného bodu tekutiny pohybuje hodnota Machova čísla kolem 1, konkrétně v rozmezí 0,8<M<1,3, pak mluvíme o transonickém proudění – speciálně při velikosti Machova čísla právě 1 (M=1) mluvíme o zvukovém (sonické) proudění. Jestliže se v celém okolí vyšetřovaného bodu tekutiny pohybuje hodnota Machova čísla nad hodnotu 1 (M>1), pak mluvíme o nadzvukovém (supsonickém) proudění.

Kritické Machovo číslo

Někdy se setkáme s pojmem kritické Machovo číslo, toto číslo je vztaženo k nějakému jasně definovanému bodu v rámci vyšetřovaného objemu tekutiny, a jedná se o takovou velikost Machova čísla, při které se někde v daném objemu dosáhne zvukové nebo nadzvukové rychlosti (například v důsledku obtékání nějakých těles uvnitř).

Dopady konečné velikosti rychlosti zvuku na kontinuitu proudu

Zvuk jako tlaková porucha

Odlišnost mezi podzvukovou a nadzvukovou rychlostí

Zvuk je tlaková porucha šířící se stlačitelným prostředí rychlostí zvuku a. To znamená, že jakékoliv změny tlaku v proudu tekutiny, například způsobené změnou rychlosti proudění při expanzi nebo kompresi, se projevují ve směru proudu rychleji než proti proudu. Tyto rozdíly v šíření jsou tím větším čím vyšší je rychlost. Při nadzvukovém proudění je nemožné, aby se změny tlaku a dalších stavových veličin nějak projevily proti směru proudění, z toho důvodu sledujeme zásadní rozdíly mezi

Šíření tlakové poruchy při nadzvukovém proudění

Rázové vlny

Pokud rychlost zdroje tlakové poruchy nebo proudění stlačitelného prostředí je blízká rychlosti zvuku nebo je dokonce vyšší, potom dochází k efektům narušující spojitost stlačitelného prostředí (skokové změny stavových veličin) a místo šíření tlakové poruchy formou zvukových vln se šíří formou tzv. rázových vln.

Úhel rázové vlny

Machův úhel

V případě, že se zdroj tlakové poruchy pohybuje rychlostí zvuku nebo vyšší (M≥1) je čelo tlakových poruch neustále v místě zdroje. To způsobí, že proudnice se před obtékaným tělesem pozvolna nerozestupují a toto těleso je nuceno svým objemem okolní plyn vytěsnit prudkou kompresí – energie ke kompresi plynu v rázové vlně je brána z pohybu tělesa. Takto zkomprimovaný plyn postupně expanduje směrem od tělesa. Hranici mezi zkomprimovaným plynem a okolním doposud neovlivněným plynem má tvar kužele a nazývá se rázová vlna (Obrázek 4). Sklon rázové vlny β_SW je dán rychlostí a velikostí tělesa a je vždy větší než úhel, který by vznikal při pohybu nekonečně tenkého tělesa stejnou rychlostí, tzv. Machův úhel μ.

(a) zdroj se pohybuje zvukovou rychlostí – rázová vlna je mírně skloněna dopředu; (b) zdroj se pohybuje nadzvukovou rychlostí. SW-rázová vlna (shock wave). β_SW [°] sklon rázové vlny (μ<β_SW); μ [°] Machův úhel. Obrázek se nezabývá situací a velikostí rázových vln v čase před τ=0 a ani situací za rázovou vlnou, tj. za obtékaným tělesem, tento problém je popsán v další části článku.

Zvuková vlna

Rázová vlna

Oproti zvukové vlně je rázová vlna stálá skoková změna stavových veličin (za rázovou vlnou je vyšší tlak, teplota i hustota. Situaci lze přirovnat k expandující kouli stlačeného plynu s tím, že vlivem pohybu tělesa je kompresí další plyn doplňován. Nicméně objem kužele roste s třetí mocninou doby pohybu a množství komprimovaného plynu je lineární (při konstantní rychlosti), takže se vzdáleností od špice kuželu rázové vlny klesá intenzita rázové vlny.

Zatím bylo znázorněno šíření zvukových vln nebo vznik rázových vln při pohybu tělesa, ale stejného efektu je dosaženo i v opačném případě, kdy těleso je v klidu a je plynem obtékáno či kombinací.

rychlost na M=1 v nejužším průřezu, za kterým se rychlost dále snižuje až na nízkou podzvukovou rychlost, tím se transformuje kinetická energie nadzvukového proudu na tlakovou energii.

Vysvětlení vzniku rázových vln

Expanzní vlna

Z Hugoniotova teorému je zřejmé, že jediný možný způsob plynulého přechodu nadzvukového proudění (M>1) do podzvukového (M<1) je postupným zmenšováním průtočného průřezu až do okamžiku M=1 (kdy A=min) a následně jeho zvětšováním pro dosažení (M<1). Stroje, ve kterých může docházet k takto vysokým rychlostem lze reálně konstruovat jen pro konkrétní podmínky (lze dokázat, že poměr výstupního průtočného průřezu ku minimálnímu průřezu musí být pro rozdílná Machova čísla také rozdílná), při změně podmínek by bylo nutné měnit geometrii stroje, aby splňoval požadavky na přechod proudění z nadzvukového do podzvukového. To často není možné splnit a přechod se uskuteční v rozšiřující se části proudové trubice skokem, tj. skokovou změnou stavových veličin tedy rázovou vlnou, jen tak lze splnit podmínky Hugoniotova teorému (plynulý přechod není v takovém kanále možný). Přičemž existuje několik základních druhů rázových vln podle podmínek, za jakých vznikly, viz následující kapitoly. Při přechodu z podzvukového do nadzvukového proudění k náhlým (skokovým) změnám stavových veličin sice nedochází, ale obecně se chování nadzvukové expanze natolik odlišuje od podzvukové, že se označuje jako expanzní vlna, která je podrobněji popsána v jedné z další kapitol.

Kolmá (přímá) rázová vlna

Rovnice kolmé rázové vlny

V kolmé rázové vlně se téměř skokově mění (její tloušťka je cca 10^-7 m [Hloušek, 1992]) stavové veličiny plynu, tak jak je uvedeno na Obrázku 7. Po průchodu kolmou rázovou vlnou zůstává směr proudění stejný, ale mění se rychlost a hybnost proudu – za kolmou rázovou vlnou je vždy rychlost nižší, než je rychlost zvuku. Kolmé rázové vlny vznikají v kanálech a kolem osamocených těles při zvukové rychlosti proudu.

1-stav plynu před rázovou vlnou; 2-stav plynu za rázovou vlnou. p [Pa] tlak; V* [m·s^-1] kritická rychlost proudění. Odvození rovnic pro kolmou rázovou vlnu je provedeno například v [Macur, 2010, s. 372].

Ludwig Prandtl

Energetickou bilanci kolmé rázové vlny s uspokojivým výsledkem poprvé stanovil německý fyzik Ludwig Prandtl

Šikmá rázová vlna

Stavy v okolí šikmé rázové vlny

Odklon proudu

Před šikmou rázovou vlnou musí být rychlost nadzvuková, ale za ní může být proudění podzvukové i nadzvukové. Při průchodu proudění šikmou rázovou vlnou dochází navíc ke změně směru proudu o úhel δ, jak je zobrazeno na Obrázku 10. Přičemž pro normálové složky rychlosti šikmé rázové vlny V_1n, V_2n platí stejné vlastnosti jako pro proudění procházející kolmou rázovou vlnou, viz Úloha 2. Lze dokázat rovnost (např. [Kadrnožka, 2004, s. 126-127]) tečných složek rychlosti V_1t=V_2t.

δ [°] odklon proudění za rázovou vlnou od původního směru. Index _n označuje normálové složky rychlosti, Index _t označuje tečné složky rychlosti.

Úhel rázové vlny

Ztráty v rázové vlně

Machův úhel

Zvuková vlna

Dále, z analýzy vlastností šikmé rázové vlny, plyne, že pokud je úhel β_SW stejný jako Machův úhel μ, pak musí platit V_1n=a₁ a jedná se pouze o zvukovou vlnu, což plyne z definice Machova úhlu. Dále lze dokázat, že k největší energetické ztrátě (nárůstu entropie) dochází při β_SW=90° – to znamená, že ztráty v šikmé rázové vlně jsou menší než v kolmé pro stejný tlakový poměr tlaků před a za vlnou.

Příklady šikmých rázových vln

Šikmá rázová vlna vzniká například na hranách profilů pohybujících se nadzvukovou rychlostí, nebo pokud jsou obtékány nadzvukovým proudem, viz níže. Šikmou rázovou vlnu může vytvořit i nerovnost na obtékané ploše (výrobní nerovnost, kapička nestlačitelné tekutiny v nadzvukovém proudu atd.) či rozhraní mezi nadzvukovým proudem a okolním prostředím, typickým příkladem je nadzvukový výtok plynu z Lavalovy trysky. Šikmá rázová vlna vzniká také tam, kde se náhle zmenší průtočný průřez nadzvukovému proudění, jak je znázorněno na Obrázku 11. Podobným způsobem může vzniknou šikmá rázová vlna i při šikmém střetu dvou nadzvukových proudů, jak naznačuje Obrázek 19. Jestliže je úhel plochy δ_S větší než odpovídá úhlu rázové vlny δ podle Obrázku 10, potom se rázová

δ_S [°] úhel obtékané plochy.

Machovo číslo, to znamená, že v místě kde se protnou bude tlak roven součtu zvýšení tlaků v jednotlivých kompresních vlnách, tak v těchto místech vzniká šikmá rázová vlna o nižší intenzitě, než je intenzita původních vln v místě zdroje tlakové poruchy. Proudění dále od plochy tedy prochází šikmou rázovou vlnou s větším úhlem β_SW než při okrajích.

(a) stupňující se plocha; (b) vznik kompresních vln u pozvolna se zvedající plochy [Nožička, 2000]. CW-soustava kompresních vln.

Zředění rázové vlny

V letectví se provádí experimenty se snižování zvukových efektů způsobené rázovými vlnami při nadzvukových letech založené na rozdělení rázové vlny na několik dílčích vln (zředění rázové vlny, viz Obrázek 13). Tímto způsobem se sníží nejen ztráty v rázových vlnách, ale především se tím dosáhne co největšího úhlu výsledné rázové vlny (poté co se setkají všechny rázové vlny od trupu letounu). Čím je totiž úhel rázové vlny větší (nejlépe 90°), tím je zvukový efekt od vlny menší [Hošek, 1962, s. 60] – což by umožňovalo dopravním letounům alespoň omezeně let vysokou rychlostí i nad obydlenými oblastmi.

Projekt Quiet Spike se úspěšně zabýval možností snížit intenzitu zvukových efektů pomocí odstupňovaně prodloužené přídě letounu. Zde testování teleskopické přídě letounu F-15B [Creech, 2009].

λ-rázová vlna

Vznik λ-rázové vlny

Transonické proudění

Mezní vrstva

Laminární proudění

Turbulentní proudění

λ-rázová vlna (Obrázek 14) vzniká při obtékání těles transonickou rychlostí s laminární^7. mezní vrstvou^7.. V mezní vrstvě se tlak zvyšuje postupně na úkor rychlosti, protože v mezní vrstvě je podzvukové proudění. Tím se zvětšuje její tloušťka a vzniká klín od kterého dochází ke kumulaci šikmých rázových vln, což je dobře patrné na zjednodušeném schématu λ-rázové vlny na Obrázku 15. Výsledná rázová vlna je často mírně skloněna dopředu [Hošek, 1949]. V případě turbulentního

rychlosti proudu z V₁ na V₂, zároveň dojde i k vychýlení směru proudícího plynu o úhel δ od původního směru. V expanzní vlně nedochází ke skokové, ale pozvolné změně stavových veličin při expanzi s velmi nízkými ztrátami (izoentropická expanze).

ML-Machova čára (Mach line); Δ [m] délkový rozdíl.

Machova čára

Prandtl-Meyerovy funkce pro odklon proudu

Vznik expanzní vlny na Obrázku 16 iniciuje tlaková porucha na hraně S, která se šíří proti proudění rychlostí a_1t. První proudnice zareaguje okamžitě a začne expandovat do tlaku nižšího změnou směru proudění ve směru poklesu tlaku. Vzdálenější proudnice expanduje až za hranou S, protože než k ní dorazí tlaková porucha urazí vzdálenost Δ. Hranice ML₁, na které se začne měnit směr proudění a plyn expandovat je tzv. Machova čára nebo také první expanzní vlna. Je evidentní, že sklon této čáry je roven Machovu úhlu μ₁. Na první Machově čáře započne tedy expanze plynu. Při expanzi dochází ke změně Machova čísla a i expanze mění svůj charakter, protože se mění Machův úhel. Expanze se ukončí na Machově čáře ML₂, na které proudící plyn dosáhne tlaku p₂. První a poslední Machova čára vytváří Machův klín, ve kterém expanze plynu probíhá. Přičemž hodnotu úhlu δ lze stanovit z Prandtl-Meyerovy funkce ν [ANON., 2010], viz Rovnice 17.

ν(M) [°] Prandtl-Meyerova funkce

Maximální odklon proudu

Maximálního úhlu odklonu proudu při průchodu v expanzní vlnou δ_max a maximální rychlosti V_2max dosáhne proudění při expanzi do vakua p₂=0. Při expanzi do vakua bude M₂=∞. Jestliže úhel sklonu hrany bude větší než δ_max vznikne za hranou S mezi proudem a obtékanou plochou vakuum.

Šikmo seříznutá tryska

Expanzní vlny mohou také vznikat při nadzvukových rychlostech proudění ve výtoku z kanálů, například v šikmo seříznutých tryskách^4. a při nadzvukovém výtoku z lopatkového kanálu.

(a) zvukové obtékání profilu; (b) nadzvukové obtékání profilu [Kneubuehl, 2004, s. 78].

Start raketoplánu

Při pohybu tělesa od jeho startu až po vysokou nadzvukovou rychlost lze sledovat vznik všech efektů popsaných v předchozích odstavcích. Na Obrázku 20 je start raketoplánu Discovery (STS-114, 2005). Vlevo je snímek v čase 50,87 s po startu (1,2 Mach, aerodynamický odpor dosahuje maxima), vpravo je snímek v čase 59,72 s (1,5 Mach aerodynamický odpor klesá.

Zdroj fotografií [O’Farrell and Rieckhoff, 2011].

Přepočet součinitele vztlaku a tlakového součinitele

Glauert-Prandtlovo pravidlo

Součinitel odporu

Laminární profil

Pro přepočet aerodynamikých veličin získaných z měření na profilech v nestlačitelném proudění na situaci stlačitelného proudění lze použít Glauert-Prandtlova pravidlo, viz Rovnice 21. Tyto rovnice mají omezenou platnost, respektive je lze použít pouze pro rychlosti proudění nepřekračující kritické Machovo číslo ani kritické Reynoldsovo číslo – profily, u kterých proudění nepřekračuje kritické Reynoldsovo číslo se nazývají laminárními profily. Uvedené rovnice dobře odpovídají experimentálním měření [Abbott and Doenhoff, 1959, s. 256 a s. 283-287], [Hošek, 1949, s. 52].

(a) Glauert-Prandtlovo pravidlo pro tlakový součinitel profilu; (b) Glauert-Prandtlovo pravidlo pro součinitel vztlaku^2.; (c) vliv zvyšování rychlosti na součinitel odporu^2.. C_D [1] součinitel odporu profilu; C_L [1] součinitel vztlaku profilu; M [Mach] Machovo číslo (před profilem); C_P [1] tlakový součinitel profilu. Index _i označuje nestlačitelné proudění (incompressible), index _c stlačitelné proudění (compressible). Odvození je uvedeno v [Hošek, 1949, s. 49].

je v tomto směru kosočtvercový profil. Expanzní vlny vznikají pouze na vrcholcích sací a přetlakové strany a λ-rázové vlny vznikají až u odtokové hrany profilu. Samozřejmě tento profil není vhodný pro nízké podzvukové rychlosti, takže se hledají různé kompromisy tvarů profilů podle toho, pro jaké rychlosti jsou primárně určeny, viz Obrázek 24.

(a) transonický profil; (b) supersonický (čočkový tvar); (c) supersonický (kosočtvercový tvar); (d) supersonický (lichoběžníkový tvar); (e) hypersonický.

Působiště vztlaku a odporu

Vysoké rychlosti způsobují také posun působiště vztlaku, které se posuvá se změnou Machova čísla [Hošek, 1949, s. 46, 240], současně se mění i velikost vztlaku, viz Obrázek 22. Z toho důvodu jsou moderní letouny vybaveny zařízeními pro změnu geometrie křídla či přesunu těžiště, a zejména při rychlostech kolem rychlosti zvuku mění náklon kvůli udržení takových nátokových úhlů, aby vztlak udržely v požadované velikosti – při velmi vysokých podzvukových rychlostech může být dokonce i záporný [Stever and Haggerty, 1966, Flight, s. 69].

Aerodynamika profilových mříží ve stlačitelném prostředí

Odklon proudu v profilových mříží

Interferogram

Expanzní vlny

Rázové vlny

Efekty spojené se stlačitelným prouděním při vysoké rychlosti vznikají i v kanálech profilových mříží. Na Obrázku 25 je interferogram (fotografie zachycující změny hustot plynu) nadzvukového proudění turbínovou profilovou mříží, přičemž na vstupu je rychlost 1,19 Mach a na výstupu rychlost, která by při izoentropickém proudění odpovídala rychlosti 2,003 Mach. V okolí výstupní části profilové mříže jsou jasně patrné expanzní vlny a vznik rázových vln na odtokové hraně při srážce dvou nadzvukových proudů. Při průchodu těmito vlnami se mění směr proudění, což je typický problém vznikající na výstupu