Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy

Škorpík, Jiří

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.3

Charakteristické rysy proudu tekutiny

Vnitřní tření

Ztrátové teplo

Rychlostní profil

Mezní vrstva

Tlaková ztráta

Vnitřní tření tekutiny způsobuje, že při proudění tekutiny se část její kinetické energie transformuje na vnitřní tepelnou energii tekutiny (tato část energie je dále označována jako ztrátové teplo) a přitom se zvyšuje i její entropie oproti stavu bez tření. Typickým projevem vnitřního tření je tlaková ztráta při proudění kanálem a nižší rychlost proudění u okrajů kanálu a vyšší v jádru proudu – rozložení rychlosti tekutiny ve vyšetřovaném řezu kanálu nazýváme rychlostní profil. Nicméně rychlostní profil se vyvijí postupně. Na Obrázku 1 je znázorněn postupný vývoj rychlostního profilu tekutiny v potrubí na výtoku z nádoby při působení vnitřního tření. Vliv vnitřního tření započne až na vstupu do potrubí, kde dochází ke tření tekutiny o stěny kanálu, tato ztráta kinetické energie tekutiny se šíří směrem od obtékané plochy, a tím se postupně vyvíjí rychlostní profil. Aby byla zachována kontinuita proudu, musí se v jádru proudu rychlost zvyšovat, protože v blízkosti stěn je naopak velmi nízká. Oblast ovlivněnou přítomnosti obtékaného profilu/stěny nazýváme mezní vrstvou proudění. V případě uzavřených kanálů se mezní vrstvy protilehlých stran, tak jak neustále rostou, po určité délce spojí.

1: Vznik a vývoj rychlostního profilu v kanále

E-oblast plně vyvinuté mezní vrstvy. V_∞ [m·s^-1] rychlost proudění ve vyšetřovaném místě kanálu; V_∞ [m·s^-1] rychlost proudění na vstupu do vyšetřovaného úseku kanálu; x vzdálenost od vstupu do potrubí; x_e [m] vstupní úsek (není dokončen vývin mezní vrstvy); δ [m] tloušťka mezní vrstvy.

Ideální tekutina

Za účelem základních výpočtů složitých úloh v proudění a porovnávání definujeme tzv. ideální tekutinu, ve která neexistuje vnitřní tření a navíc má konstantní tepelnou kapacitu. Modely proudění s ideální tekutinou jsou k reálnému proudění tím bližší, čím je schopnost skutečné tekutiny produkovat vnitřní tření menší.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.4

Kapalné helium

Supratekutost

Ideální tekutina není jen matematický ideál, ale ideální tekutinou je i kapalné Helium při teplotách pod 2 K, jedná se o tzv. supratekutost. Supratekutost také umožňuje existenci navzájem protiproudých proudění v jednom kanále bez vzniku tření.

Laminární proudění

Turbulentní proudění

Wilkens et al., 2009

To jakým způsobem se vyvijí mezní vrstva a tedy i rychlostní profil je dáno druhem proudění. Existují dva druhy proudění podle principu vzjemné interakce mezi částicemi proudění a přenosu kinetické energie proudu mezi nimi. Jedná se o proudění laminární a proudění turbulentní. Při laminárním proudění vytváří tekutina rovnoběžná proudová vlákna, přičemž tato vlákna po sobě klouzají (v rámci vlákna vytváří tekutina drobné víry). Tekutina v sousedních proudových vláknech se nepromíchává. Při tubuletním proudění již nelze identifikovat jednotlivá proudová vlákna. Na Obrázku 2 jsou uvedeny trajektorie částic, které jsou unášeny laminárním proudem a turbulentním proudem, viz také fotografie v [Wilkens et al., 2009]. Tyto částice jsou současně výrazně hmotnější než molekuly tekutiny, aby nemohla být ovlivněna Brownovým pohybem, ale současně na ně nemá významný vliv gravitační zrychlení. Nicméně i při turbulentním proudění převládají nišší rychlosti v blízkosti stěn a vyšší v jádru proudu. O tom za jakých okolností lze očekávat laminární nebo turbuletní proudění pojednává kapitola Kolaps laminárního proudění a vývoj turbulentního proudění.

2: Rozdíl mezi laminárním a turbulentním prouděním

(a) typická charakteristika laminárního proudu a jeho rychlostní profil; (b) typická charakteristika turbuletniho proudu a jeho rychlostní profil.

Teorie vnitřního tření, respektive mezní vrstvy, objasňuje vznik tlakové ztráty, chování tekutiny při proudění potrubím nebo zvýšení odporu při obtékání profilů odpor těchto profilů.

Čtyři definice střední rychlosti proudění

Při výpočtech parametrů proudu tekutiny bývá vstupní veličnou střední rychlost proudění. Existují čtyři druhy středních rychlostí, podle toho z jakých parametrů proudu se vychází při jejich výpočtu.

Klíčová slovaVZNIK TLAKOVÉ ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ TEKUTINY A JEJÍ VÝPOČET

7.5

Střední profilová rychlost

První možností je stanovit střední rychlost proudění z tvaru rychlostního profilu tekutiny integrací přes jeho průtočný průřez, viz Rovnice 3(c). Výsledná rychlost se nazývá střední profilovou rychlost.

3: Příklady rychlostních profilů a středních rychlostí proudění

(a) rychlostní profil mezi dvěma deskami v případě proudění bez tření; (b) rychlostní profil mezi dvěma deskami reálné tekutiny; (c) střední profilová rychlost; (d) střední rychlost hmotnostního toku; (e) Střední rychlost hybnosti tekutiny; (f) střední energetická rychlost. A [m²] průtočný průřez; e_k [J·kg^-1] průměrná hodnota kinetická energie tekutiny; M [N] hybnost tekutiny v kanále; m^• [kg·s^-1] hmotnostní průtok; V [m·s^-1] místní rychlost tekutiny; V‾ [m·s^-1] střední rychlost hmotnostního toku (střední rychlost proudění); V_k [m·s^-1] střední energetická rychlost; V_M [m·s^-1] střední rychlost hybnosti tekutiny; V_profil [m·s^-1] střední profilová rychlost; y [m] souřadnice kolmá na směr proudění.

Střední rychlost hmotnostního toku

Nejrozšířenější způsob je výpočet střední rychlosti z rovnice kontinuity, tzv. střední rychlost hmotnostního toku, viz Rovnice 3(d). Je to tedy taková rychlost proudění, při které za jednotku času proteče kanálem stejné množství tekutiny odpovídající hmotnostnímu průtoku Protože se jedná o obvyklou definici, tak se ji zkráceně říká střední rychlost proudění.

Střední rychlost hybnosti tekutiny

Třetí možností je vypočítat střední rychlost proudění z hybnosti proudící tekutiny, jedná se o tzv. střední rychlost hybnosti tekutiny. To je taková rychlost proudění, při které by proud dosahoval stejné hybnosti (síla, kterou působí paprsek tekutiny na kolmou desku) jako skutečný proud s rychlostním profilem, viz Vzorec 3(e).

Střední energetická rychlost

Výpočet střední rychlosti proudění z kinetické energie proudu se označuje jako střední energetickou rychlost, při této rychlosti by proud dosahoval stejného výkonu jako skutečný proud s rychlostním profilem, viz Vzorec 3(f).

Pokud není řečeno jinak je střední rychlosti proudění myšlena střední rychlost hmotnostního toku, tj. výpočet z rovnice kontinuity. Pro případ nestlačitelné tekutiny se hodnoty střední profilové rychlosti, střední rychlosti hmotnostního toku rovnají. Druhá nejpoužívanější definice v technické praxi je střední energetická rychlost, která se používá v energetických bilancí, například ve výpočtech pomocí Bernoulliho rovnice, ve které vystupuje kinetická energie tekutiny.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.6

Definice tloušťky mezní vrstvy

Při praktickém pozorování proudu tekutiny není často jednoznačné jaká je tloušťka mezní vrstvy, tak jako na Obrázku 1, proto bylo zavedeno několik definic tlouštěk mezní vrstvy. Nejčastěji se uvádí tři definice podle Obrázku 4, které jsou také použity k vyřešení Úlohy 1 na výpočet tloušťky mezní vrstvy.

Pošinovací tloušťka mezní vrstvy

První je tzv. pošinovací tloušťka mezní vrstvy, která odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí a hmotnostním průtoku rovnající se rozdílu mezi průtokem bez tření a skutečném průtoku, viz Rovnice 4(a).

4: Charakteristické tloušťky mezní vrstvy pro případ proudění mezi dvěma deskami

(a) pošinovací tloušťka mezní vrstvy; (b) impulsní tloušťka mezní vrstvy; (c) energetická tloušťka mezní vrstvy; (d) definice hranie ovlivněné oblasti v případě obtékání profilů. A* [m²] průtočný průřez pošinovací tloušťky mezní vrstvy; A** [m²] průtočný průřez impulsní tloušťky mezní vrstvy; A*** [m²] průtočný průřez energetické tloušťku mezní vrstvy; V_max [m·s^-1] maximální rychlost proudění ve vyšetřovaném místě kanálu; V_∞ [m·s^-1] nátoková rychlost (rychlost před obtékaným profilem). Rovnice jsou odvozeny v Příloze 5.

Impulsní tloušťka mezní vrstvy

Impulsní tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí s hybností tekutiny rovnající se rozdílu mezi celkovou hybností bez tření a skutečnou celkovou hybností tekutiny, viz Rovnice 4(b).

Energetická tloušťka mezní vrstvy

Energetická tloušťka mezní vrstvy odpovídá průtočnému průřezu, kterým by protékala pracovní tekutina maximální rychlostí o stejné kinetické energie jako je rozdíl mezi kinetickou energií tekutiny při proudění bez tření a skutečnou kinetickou energii tekutiny při proudění se třením, viz Vzorec 4(c).

Profil

Nátoková rychlost

V případech obtékání osamocených profilů se jednotlivé charakteristické tloušťky mezní vrstvy stanovují k nátokové rychlosti, přičemž hranice ovlivněné oblasti, ke které se stanovuje průtok, je ve vzdálenosti, ve které je rychlost proudění už velmi blízká rychlosti před ovlivněnou oblastí, viz Obrázek 4(d).

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.7

Podle jednotlivých tlouštěk lze porovnávat typy kanálu mezi sebou z pohledu rychlostí, hybnosti a energetických ztrát, protože jsou aplikace, kde je důležitá například co nejmenší ztráta hybnosti a u jiné energetická ztráta a podobně.

Definice viskozity a její hodnoty

Vliv vnitřního tření na rychlostní profil při laminárním proudění lze kvalifikovat pomocí veličiny zvané dynamická viskozita (zkráceně jen viskozita). Hodnot viskozit vyšetřovaných tekutin se používají pro výpočet parametrů proudu včetně tlakové ztráty.

Viskozita

Dynamická viskozita

Kinematická viskozita

Issac Newton

Dynamická viskozita je poměr mezi tečným napětím a tenzorem rychlosti, viz definiční Rovnice 5. Tuto definici zavedl Issac Newton na základě jednoduchého experimentu s vnitřním třením tekutiny, který je popsán v Příloze 6.

5: Definice viskozity

F [N] třecí síla působící na element; η [Pa·s] dynamická viskozita pracovní tekutiny; τ [Pa] tečné (smykové) napětí mezi proudovými vlákny způsobené třecí silou (tření mezi proudnicemi); ν [m²·s^-1] kinematická viskozita; S [m²] třecí plochy mezi vyšetřovanými vlákny.

Newtonovská tekutina

Nenewtonovská tekutina

Viskózní tekutina

Tekutiny, u kterých lze uplatnit výše uvedenou definici viskozity nazýváme newtonovské tekutiny a naopak tekutiny, ve kterých se viskozita mění s rychlostí nazýváme nenewtonovské tekutiny (tekutiny obsahující větší shluky molekul jako koloidní roztoky, suspenze, emulze gely apod.). Tekutiny, které mají nenulovou viskozitu se nazývají viskózní tekutiny.

Newtonův zákon viskozity

Bird, 1965

Při definici viskozity Vzorcem 5 jsme vycházeli z velmi jednoduchého případu proudění v rovině, který lze využít v případech, kdy viskozita mění rychlostní profil pouze v jednom směru. V případě prostorového proudění se změna rychlosti ve všech směrech je nutné vycházet z tenzoru tečných napětí v tekutině od vnitřního tření tekutiny (viz Úloha 2). Vztahy mezi jednotlivými tečnými napětími a viskozitou při proudění v prostoru se nazývají Newtonův zákon viskozity, který je uveden například v [Bird et al., 1965] pro různé soustavy souřadnic.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.8

Hodnoty viskozit

Viskozimetr

Viskozita vody

Viskozita vzduchu

Redukovaná viskozita

Kritická viskozita

Bird, 1965

Dynamická viskozita tekutin se měří pomocí viskozimetrů, kterých je několik typů. Výsledky měření se uvádí do termodynamických tabulek, které se využívají při výpočtech. Problém získání komplexních dat hodnot viskozity je v tom, že viskozita tekutin závisí na teplotě a tlaku. S rostoucí teplotou dynamická viskozita kapalin klesá a s rostoucím tlakem vzrůstá. Vliv tlaku je u většiny kapalin nevýznamný, vyjma velmi vysokých tlaků v řádech megapascalů. Dynamická viskozita plynů s rostoucí teplotou vzrůstá a je nezávislá na tlaku, vyjma extrémně nízkých nebo naopak vysokých tlaků. Z těchto důvodů se uvádí dynamické viskozity tekutiny pro technické účely pouze v závislosti na teplotě, viz Tabulky 6, 7 vody a páry a Tabulky 9, 10 suchého a vlhkého vzduchu. V případě nedostaku dat lze vypočítat přibližně viskozitu jako součin redukované a kritické viskozity. Redukovaná viskozita je funkcí tlaku a teploty, viz grafy v [Bird et al., 1965]. Kritická viskozita je viskozita látky v kritickém bodě.

t	0	10	20	30	40	50	60	70	80
η	1770,2	1303,9	1001,9	797,3	652,6	546,8	466,5	404,2	354,7
ν	1769,7	1303,7	1003,3	800,46	657,46	553,2	474,28	413,22	364,84
t	90	100	110	120	130	140	150	160	170
η	314,7	281,8	254,7	232,05	212,9	196,54	182,46	170,24	159,55
ν	325,87	293,92	267,84	246,05	227,74	212,22	198,97	187,6	177,78

6: Viskozita vody při tlaku 101 325 Pa

t [°C] teplota; η [μPa·s]; ν [nm²·s^-1] Hodnoty od teploty 100 °C a výše jsou pro sytou vodu, tedy při vyšším tlaku odpovídající syté kapalině.

t	0	10	20	30	40	50	60	70	80
η	9,24	9,461	9,7272	10,01	10,307	10,616	10,935	11,26	11,592
ν	1778	1005,8	561,81	329,12	201,15	127,68	83,837	56,747	39,474
t	90	100	110	120	130	140	150	160	170
η	11,929	12,269	12,612	12,956	13,301	13,647	13,992	14,337	14,681
ν	28,141	20,511	15,251	11,547	8,8853	7,9770	5,4912	4,3983	3,5615

7: Viskozita syté vodní páry

t [°C]; η [μPa·s]; ν [nm²·s^-1].

Zde článek jak tlak může snižovat viskozitu tuhých látek a jak je to důležité pro tektoniku zemských desek.https://t.co/wRSp0SHXYN
— Jiří Škorpík (@jiri_skorpik) July 2, 2024

Viskozita směsi

V technické praxi se velmi často pracuje se směsmi, jak plynnými, tak kapalnými, které se skládají ze dvou nebo více čistých látek. Viskozita směsi závisí na molárních koncentracích jednotlivých složek směsi, viz Rovnice 8 a také Úloha 3.

8: Rovnice pro výpočet viskozity směsi

η_i [Pa·s] dynamická viskozita jednotlivé složky směsi; δ_i [1] molární zlomek jednotlivé složky směsi. Rovnice je platná pro případy, kdy jsou jednotlivé viskozity nezávislé na parciálních tlacích jednotlivých složek.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.9

t	-20	0	10	20	40	60	80	100	150
η	16,28	17,08	17,75	18,24	19,04	20,10	20,99	21,77	23,83
ν	11,93	13,70	14,70	15,70	17,60	19,60	21,70	23,78	29,50
t	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
η	25,89	29,70	33	36,20	39,10	41,70	44,40	46,60	49,30
ν	35,82	48,20	63	79,30	96,80	115	135	155	178

9: Viskozita suchého vzduchu při 0,1 MPa

t [°C]; η [μPa·s]; ν [μm²·s^-1].

t	10	20	40	60	80	100
ϕ	η	η	η	η	η	η
0,2	17,73	18,20	18,91	19,75	20,15	20,12
0,4	17,71	18,16	18,79	19,43	19,45	18,96
0,6	17,69	18,12	18,67	19,13	18,86	18,10
0,8	17,67	18,09	18,56	18,85	18,35	17,43
1	17,65	18,05	18,45	18,59	17,91	16,90
	ν	ν	ν	ν	ν	ν
0,2	14,67	15,63	17,35	18,86	19,77	19,66
0,4	14,63	15,56	17,11	18,17	18,16	16,75
0,6	14,60	15,49	16,87	17,53	16,80	14,60
0,8	14,57	15,43	16,64	16,93	15,62	12,93
1	14,54	15,36	16,42	16,38	14,60	11,61

10: Viskozita vlhkého vzduchu při 0,1 MPa

t [°C]; η [μPa·s]; ν [μm²·s^-1]; ϕ [1] relativní vlhkost vzduchu

Rovnice laminárního proudění

Nyní stojíme před úkolem určit tlakovou ztrátu, respektive ztrátové teplo případně tvar rychlostního profilu při laminárním proudění. Tyto parametry proudu lze určit pomocí Navier-Stokesovy rovnice. Přičemž speciálnímy tvary Navier-Stokesovy rovnice pro případ nevýznamného vlivu viskozity je i Eulerova rovnice hydrodynamiky. Navíc lze pomocí Navier-Stokesovy rovnice odvodit rovnice pro tlakovou ztrátu nebo ztrátové teplo pro případy kanálů jednoduchých tvarů, například Poiseuilleův zákon pro tlakovou ztrátu v potrubí kruhového průřezu, vztah mezi střední rychlostí hmotnostního toku a střední energetickou rychlostí apod.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.10

Navier-Stokesova rovnice

Claude-Louis Navier

George Gabriel Stokes

Bird, 1965

Nyní stojíme před úkolem určit ztrátu, respektive ztrátové teplo případně tvar rychlostního profilu při laminárním proudění. Jak již víme, množství ztrátového tepla roste ve směru proudění, odtud a pomocí definice viskozity, lze odvodit rovnici laminárního pohybu tekutiny nazývanou také jako Navier-Stokesovu rovnicí, viz Rovnice 11. Uvedenou rovnici na základě kinetiky pohybu molekul odvodil francouzský inženýr Claude-Louis Navier (1785-1836). Irský matematik George Gabriel Stokes (1819-1903) je v názvu přidán na počest, protože s rovnicí dále experimentoval a hlouběji popsal její možnosti, i když vědců, kteří ji rozvinuli bylo více.

11: Navier-Stokesova rovnice

g [m·s^-2] gravitační zrychlení; grad L_q [J·kg^-1·m^-1] gradient ztrátového tepla (množství ztrátového tepla uvolněného v 1 kg tekutiny při posuvu o 1 m daným směrem); p [Pa] tlak; s^→ [m] jednotkový směrový vektor; (V·∇)V [J·kg^-1·m^-1] změna (gradient) kinetické energie ve směru proudění. Rovnice je odvozena pro případ ustáleného laminárního proudění viskózní tekutiny při konstantní hustotě v Příloze 7, pro obecný případ nestacionárního proudění s proměnnou hustotou je Navier-Stokesova rovnice odvozena v [Bird et al., 1965], kde je označována jako rovnice pohybu.

Ztrátové teplo

Znovu využitelné teplo

Ztrátové teplo L_q je přesně to teplo, které zvyšuje entropii tekutiny. Zvýšení ztrátového tepla může docházet nejen při tření ale i při víření mezi jednotlivými proudnicemi. Tyto víry získávají energii tak, že třecí síla vytváří moment v nejbližším okolí vyšetřovaného bodu, jak naznačuje Obrázek 5. Nicméně při stabilním laminárním proudění mají víry stále stejnou energii, takže stejné množství energie se třením transformuje také na vnitřní tepelnou energii. U plynů se část ztrátového tepla, respektive vnitřní tepelné energie může zpět transformovat na tlakovou, kinetickou nebo potenciální energii, respektive práci. To je způsobeno tím, že při zvýšení teploty se zvětší měrný objem plynu. Pro tuto energii se používá v teorii lopatkových strojů pojmu znovu využitelné teplo [Škorpík, 2024]. Z rovnice ztrátového tepla také plyne, že plyn při velmi malé hustotě, respektive tlaku může mít velmi vysoké vnitřní tření. To je také příčina výskytu laminárního proudění při malých rychlostech nebo u tekutin s vysokou kinematickou viskozitou.

Potenciální proudění

Laminární proudění není potenciální proudění [Škorpík, 2023], protože rotor vektoru rychlosti je různý od nuly, respektive vektor rychlosti není gradientem potenciální veličiny. Nicméně rychlost laminárního proudění je potenciální veličina, protože ji lze určit pouze zadáním souřadnic.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.11

Eulerova rovnice hydrodynamiky

Eulerova rovnice hydrodynamiky (Rovnice 12) je rovnice odvozená ze silové rovnováhy elementu tekutiny bez uvažování vlivu třecích sil na tento element. Lze ji jednoduše získat z Rovnice 11 pro případ, že levá strana se rovná 0. Z Rovnice 12 je dobře patrné, že skalární násobek vektoru rychlosti a divergence rychlosti (V·∇)V je zrychlení tekutiny, které lze rozepsat do tvaru Rovnice 12(vlevo) jako součet gradientu kinetické energie rychlosti a vektorových součinů rychlosti – to znamená, že laminární proudění není potenciální, protože v případě potenciálního proudění je zrychlení rovno pouze gradientu kinetické energie.

12: Eulerova rovnice hydrodynamiky

Odvození Eulerovy rovnice hydrodynamiky pro vírové proudění a souvislosti s potenciálním prouděním jsou uvedeny v Příloze 8.

Hladkost Navier-Stokesových rovnic byla zpochybněna https://t.co/bKE39DKZze
K tomu bych dodal zamyšlení, že E. rovnici hydrodynamiky bych za podobnou s rovnicí NS z pohledu fyzikální reality moc nepovažoval. ERH vychází ze silové rovnováhy proudění, NS z energetické rovnováhy.
— Jiří Škorpík (@jiri_skorpik) January 14, 2023

Poiseuilleův zákon

Potrubí

Gotthilf Hagen

Jean Poiseuille

Johann Nikuradse

Odvození rovnic pro tlakovou ztrátu a rychlost tekutiny při laminárním proudění v kanálech jednoduchých tvarů není pomocí Navier-Stokesovy rovnice obtížné, viz Úloha 4 pro proudění mezi dvěma deskami a Rovnice 13 pro potrubí kruhového průřezu. Rovnice pro laminární proudění kruhovým průřezem poprvé odvodil německý inženýr Gotthilf Hagen (1797-1884) a francouzský fyzik Jean Poiseuille (1797-1869), proto se někdy označují jako Poiseuilleův zákon. Experimenty platnost této rovnice potvrdil (mimo velmi krátkých úseků) německý inženýr původem z Gruzie Johanna Nikuradseho (1894-1979).

13: Parametry laminárního proudění v potrubí

L_p [Pa] tlaková ztráta na vyšetřované délce potrubí (pressure losses, pressure drop); l [m] délka potrubí; r_e [m] vnitřní poloměr potrubí; Q [m³·s^-1] objemový tok; r [m] vzdálenost vyšetřovaného poloměru od středu (osy) potrubí; V [m·s^-1] axiální složka rychlosti (ve směru osy potrubí). Vztah je odvozený v Příloze 9 pro případ ustáleného proudění nestlačitelné tekutiny v kruhového potrubí, při vynechání vlivu potenciální energie z Navier-Stokesovy rovnice.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.12

Střední rychlost

Střední energetická rychlost

Výpočet střední rychlosti plně vyvinutého laminárního proudění není u jednoduchých kanálů problematický, jak naznačují Rovnice 13 pro potrubí. Odtud lze pro laminární proudění mezi dvěma deskami a v potrubí odvodit Rovnice 14.

14: Vztah mezi střední rychlosti tekutiny a měrnou kinetickou energií

(a) rovnice střední rychlosti proudění při laminárním proudění tekutiny mezi dvěma deskami; (b) rovnice střední rychlosti proudění při laminárním proudění tekutiny trubkou. Rovnice byly odvozeny pro konstantní hustotu tekutiny ρ=konst. V‾ [m·s^-1] střední rychlost proudění. Odvození rovnic je uvedeno v Příloze 10.

Vývoj laminární mezní vrstvy a Reynoldsovo číslo

Rychlostní profil

Vstupní délka potrubí

Reynoldsovo číslo

Rychlostní profil po celé vyšetřované délce nemusí být stálý, zvláště jedná-li se o vstupní úsek do zkoumaného kanálu/potrubí, ve kterém teprve dochází ke vzniku mezní vrstvy (objeví se zdroje tření – stěny kanálu, viz Obrázek 1). Vstupní délka kanálu x_e, na které dochází k vývoji mezní vrstvy je funkcí poměru dynamického tlaku a tečného napětí v proudu, který označujeme jako Reynoldsovo číslo Re, dále je funkcí součnitele hydraulické vstupní délky kanálu, jeho tvaru a tzv. charakteristickém rozměru, viz Vzorec 15.

15: Výpočet vstupní délky kanálu

C_h [m] součinitel hydraulické vstupní délky; L [m] charakteristický rozměr; Re [1] Reynoldsovo číslo (do vzorce pro x_e dosazujeme Re při plně vyvinuté mezní vrstvě) – vzorec pro Reynoldsovo číslo je odvozen v Příloze 11. Popisy jednotlivých veličin následují.

Součinitel hydraulické vstupní délky

Joseph Boussinesq

Ludwig Schiller

Bauer, 1950

Latif, 2006

Pro trubku kruhového průřezu jsou hodnoty součinitele hydraulické vstupní délky přibližně v rozsahu C_h≈0,025...0,065 – hodnotu 0,065 odvodil francouzský fyzik a matematik Joseph Boussinesq (1842-1929), hodnotu 0,025 německý fyzik Ludwig Schiller (1882-1961). Přičemž lze říci, že vyšší hodnoty odpovídají kratším a nižší delším vstupním úsekům (shrnuto v [Bauer et al., 1950, s. 143]). Součinitelé C_h pro kanály jiných než kruhových průřezů jsou uvedeny v [Latif, 2006, s. 208] a výběr v Tabulce 16.

		t=h	h=2·t	h=4·t	h·t^-1≈∞
	C_h	0,09	0,085	0,075	0,011

16: Hydraulické vstupní délky kanálů obdelníkového tvaru

C_h [m]; h [m] delší strana obdélníku; t [m] kratší strana obdélníka.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.13

Charakteristický rozměr (ekvivalentní průměr)

Omočený obvod

Profil

Tětiva

Charakteristický rozměr ve Vzorcích 15 zohledňuje rozměr průtočného kanálu, nebo obtékaného tělesa. Je to rozměr, ke kterému se provádí případná měření. Charakteristický rozměr uzavřených kanálů je nejčastěji definován Vzorecem 17 – v případě kruhového průřezu je to průměr, proto se charakteristický rozměr nazývá i ekvivalentním průměrem. Existuje ale i řada atypických případů, u kterých je použita jiná definice charakteristického rozměru. Obecně charakteristickým rozměrem těles bývá rozměr, který má největší vliv na proudění (například u lopatkových profilů je to délka tětivy).

17: Charakteristický rozměr kanálů nekruhových průřezů

A [m²] průtočná plocha; u [m] omočený obvod kanálu (obvod průtočného průřezu kanálu, který je ve styku s proudící tekutinou).

Kolaps laminárního proudění a vývoj turbulentního proudění

Kritická rychlost laminárního proudění

Z Obrázku 5 je zřejmé, že mezi proudnicemi působí na element tekutiny dvojice sil, která jej uvádí do rotace. To znamená, že mezi jednotlivými proudnicemi vzniká řada drobných vírů, které svou energii při laminárním proudění maří třením, ale při vyšších rychlostech energie ve vírech postupně roste. Nakonec mohou víry získat takovou energii, že začnou narušovat hranice proudnic a dochází k vzájemnému promíchávání proudu a sdílení energií. Nastává turbulentní proudění. Rychlost, při které toto nastane se nazývá kritická rychlost laminárního proudění. Při této rychlosti setrvačné síly částic převažují nad třecí silou.

Turbulentní proudění

Rychlostní profil

Střední rychlost

Bird, 1965

Při turbulentním proudění nemají částice ve všech místech stálou rychlost, ale průměrně lze definovat jak střední rychlost proudění tekutiny (viz také Obrázek 2), tak rychlostní profil, u kterého nejsou tak výrazné rozdíly mezi rychlosti v jádru a na okrajích proudu jako u laminárního rychlostního profilu, viz Obrázek 18. Tvar rychlostního profilu turbulentního proudění lze stanovit podle rovnic uvedených například v [Bird et al., 1965].

18: Turbulentní rychlostního profil v potrubí

1-rychlostní profil laminárního proudění; 2-rychlostní profil turbulentního proudění. V_max [m·s^-1] maximální rychlost v turbulentním profilu. Data pro poměry rychlostí [Maštovský, 1964, s. 78], [Mikula et al., 1974, s. 57].

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.14

Kritické Reynoldsovo číslo

Horní kritické Reynoldsovo číslo

Přechod z laminárního proudění do turbulentního je pozvolný a rozhodující pro určení o jaké proudění se jedná je velikost Reynoldsova čísla vyšetřovaného proudění, protože vznikající víry budou narušovat proudová vlákna tím více, čím větší bude poměr dynamického tlaku proudící tekutiny (setrvačná síla) ku tečnému napětí (třecí síla) v tekutině. Velikost Reynoldsova čísla, při kterém dochází k zhroucení laminárního proudění se nazývá kritické Reynoldsovo číslo. Při opakovaných experimentech proudění v potrubí, kde charakteristickým rozměrem byl průměr potrubí, bylo zjištěno, že do Re=2320 se jedná vždy o laminární proudění (kritické Reynoldsovo číslo Re_C, kritická střední rychlost proudění). V rozmezí Re=2320 do Re=5000 až 6000 je tzv. přechodová oblast (rychlostní profil je nestabilní). Od Re=6000 (tzv. horní kritické Reynoldsovo číslo) se jedná o proudění turbulentní. Je třeba zdůraznit, že v praxi tyto hodnoty budou nižší, protože zde uvedené hodnoty pochází z měření v laboratořích na dokonale uložených potrubích bez vibrací. Nomogram pro výpočet Reynoldsova čísla s vyznačením přechodové oblasti mezi proudění pro potrubí je na Obrázku 19. Z nomogramu mimo jiné vyplývá, že laminární proudění v běžných případech nastává jen za velmi vysokých hodnot kinematických viskozit a nízkých rychlostí – nejpravděpodobněji se sním lze setkat u vzduchovodů malých průměrů – jinak jsou Reynoldsova čísla daleko větší než kritické Reynoldsovo číslo.

19: Nomogram pro odečet Reynoldsových čísel

V‾ [m·s^-1]; L [mm]; ν [m²·s^-1]; Re [1]. a-rozsah kinematických viskozit vody mezi 0 °C a 100 °C; b-rozsah kinematických viskozit suchého vzduchu mezi 0 °C a 100 °C. Re_C [1] rozsah kritických Reynoldsových čísel pro potrubí.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.15

Turbulentní mezní vrstva

Turbulence

Potrubí

Turbulizátory

Odtržení proudění

Při postupném vývoji mezní vrstvy nepřechází proudění ani při vysokých rychlostech přímo na turbulentní, nejprve totiž musí dojít k projevům třecích sil, viz Obrázek 20. Například o plně vyvinutém turbulentním prouděním v potrubí můžeme hovořit až v oblasti potrubí vzdálené od ústí 10 až 60 průměrů potrubí [Jícha, 2001, s. 66]. Délka úseku, na které začne proudění turbulizovat také záleží na geometrii vstupu, kde se mohou narušovat proudnice o vstupní hrany a také drsnosti povrchu, na tomto principu fungují tzv. turbulizátory, která mají za úkol vyvolat turbulentní proudění co nejdříve, například pro potřeby promíchávání proudů, nebo pro potřeby rovnoměrného rozložení kinetické energie proudu jako jedno z opatření ke snížení citlivosti na odtržení mezní vrstvy od stěn difuzorů a pod.

20: Vývoj turbulencí při obtékání desky

LBL-laminární mezní vrstva (laminar boundary layer); TBL turbulentní mezní vrstva (turbulent boundary layer). δ [m] lokální tloušťka mezní vrstvy; x [m] vzdálenost od okraje; x_crit [m] začátek přechodu z laminární do turbulentní mezní vrstvy (vzorec podle [Latif, 2006, s. 296].

Zánik turbulencí

Laminární mezní vrstva

Laminátor

Turbulentní proudění může zpět přejít do lamirnárního, jestliže klesne součin rychlosti a charakteristického rozměru, respektive klesne Reynoldosvo číslo pod kritické Reynoldsovo číslo. Například vložíme-li do turbulentního proudění desku, tak na jejích obou stranách se vytvoří laminární mezní vrstva přesně podle Obrázku 20. Další příkladem je změna průměrů potrubí, nebo vložení kanálu do turbulentního proudu, jak je naznačeno na Obrázku 21. V případě nasávání turbulentního proudu se na nátokovém okraji vloženého kanálu vytvoří laminární vrstva (v jádru je stále turbulentní), která, jestliže je v tomto kanálu Reynoldsovo číslo dostatečně nízké, se může spojit a může vytvořit laminární profil v celém průřezu. Stejný efekt vzniku laminární vrstvy lze sledovat i při proudění v lopatkových kanálech, i když na vstupu je turbulentní proud. Vložky v proudu, ve kterých má vzniknout nebo udržet laminární vrstva se nazývá laminátor.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.16

21: Přechod turbulentního proudění do laminárního

1-plně vyvinutý turbulentní profil; 2-oblasti vnzniku laminárních mezních vrstev.

Úlohy

Úloha 1:

Vypočítejte charakteristické tloušťky mezní vrstvy pro proudění mezi dvěma deskami, jestliže by byl rychlostní profil parabolický. Maximální rychlost proudění, šířku, výšku kanálu a hustotu tekutiny si zvolte. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1.

Parabolický rychlostní profil mezi dvěma deskami

Obrázek k Úloze 1: t [m] vzdálenost desek; δ [m] charakteristická tloušťka mezní vrstvy.

§1

zadání:

V_max; t; h; ρ

§4

výpočet:

M; A^**; δ^**

§2

výpočet:

A; m; V¯

§5

výpočet:

V¯_k; A^***; δ^***

§3

výpočet:

A^*; δ^*

Popisek symbolů je v Příloze 1. h [m] šířka kanálu

Úloha 2:

Určete tvar tenzoru napětí v tekutině při laminárním proudění mezi dvěma deskami, jestliže ve vyšetřovaném bodě je tlak p. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 2.

Rovnice k Úloze 2: p [Pa] tlak.

§1

návrh:

obecného tenzoru napětí v tekutině τ,
viz přiložený tenzor

§3

odečet:

rovnice pro τ_yx

§2

dedukce:

stanovení nulových složek tenzoru

Popisek symbolů je v Příloze 2.

Klíčová slovaVNITŘNÍ TŘENÍ TEKUTINY A VÝVOJ MEZNÍ VRSTVY

7.17

Úloha 3:

Určete viskozitu směsi dusíku N₂ a kyslíku O₂ při standardních podmínkách. Molární zlomek dusíku pro tuto směs je 0,785. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 3.

§1

zadání:

δ_N2

§3

výpočet:

δ_O2

§2

odečet:

η_i

§4

výpočet:

Popisek symbolů je v Příloze 3.

Úloha 4:

Stanovte rovnice pro ztrátové teplo, tlakovou ztrátu a rychlost pro případ ustáleného plně vyvinutého laminárního proudění nestlačitelné tekutiny mezi dvěma deskami. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 4.

Rovnice laminárního proudění mezi deskami

Rovnice k Úloze 4: L_q,x [J·m^-1] gradient ztrátového tepla ve směru proudění x; l [m] délak kanálu.

Odkazy

ŠKORPÍK, Jiří, 2023, Technická matematika, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. https://engineering-sciences.education/technicka-matematika.html

ŠKORPÍK, Jiří, 2024, Termodynamika tepelných turbín, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. https://turbomachinery.education/termodynamika-tepelnych-turbin.html

BAUER, František, Oldřich BRŮHA a Zbyněk JAŇOUR, PEŠEK, Rudolf, ed., 1950, Základy proudění, Vědecko-technické nakladatelství, Praha.

BIRD, Byron, STEWART, Warren, LIGHTFOOT, Edwin, 1960, Transport phenomena, John Wiley & Sons, New York. (České vydání: BIRD, Byron, STEWART, Warren, LIGHTFOOT, Edwin, 1968, Přenosové jevy: sdílení hybnosti, energie a hmoty, Academia, Praha)

JÍCHA, Miroslav, 2001, Přenos tepla a látky, Vysoké učení technické v Brně, Brno, ISBN 80-214-2029-4.

LATIF, Jiji, 2006, Heat Convention, Springer-Verlag, Berlin, ISBN-10 3-540-30692-7.

MAŠTOVSKÝ, Otakar, 1964, Hydromechanika, Statní nakladatelství technické literatury, Praha.

MIKULA, Julius, KOČKA, Jaroslav, ŠKRAMLÍK, Emanuel, ŠTAUBER, Zdeněk, VESELÝ Adolf, OBR, Jan, 1974, Potrubí a armatury, Státní nakladatelství technické literatury, Praha.

WILKENS, Andreas; DREISEITL, Herbert; GREENE, Jennifer; JACOBI, Michael; LIESS, Christian SCHWENK, Wolfram, 2009, Wasser bewegt: Phänomene und Experimente, Haupt Verlag, Bern, ISBN 978-3258075211. (České vydání: Andreas; DREISEITL, Herbert; GREENE, Jennifer; JACOBI, Michael; LIESS, Christian SCHWENK, Wolfram, 2009, Voda v pohybu - úžas v nás: pozorování a pokusy, Malvern, Praha, ISBN: 978-80-7530-069-0)