Copyright©Jiří Škorpík, 2023
Všechna práva vyhrazena.
Při proudění tekutin vzniká tření o povrch průtočného kanálu a obtékaných těles i tření uvnitř tekutiny (tzv. vnitřní tření7.). Třením ztrácí tekutina kinetickou energii a aby protekla kanálem požadovanou rychlostí (průtokem), musí nabývat kinetickou energii na úkor tlakové energie – vzniká tlaková ztráta Lp, případně na úkor jiné energie, například potenciální energie apod.
Na Obrázku 1 je nejjednodušší případ vzniku tlakové ztráty při proudění nestlačitelné tekutiny v potrubí s konstantním průřezem. Protože na vstupu i výstupu z kanálu musí být stejný průtok, tedy i rychlost, bez změny potenciální energie, je tlaková ztráta Lp rovna rozdílu statických tlaků mezi vstupem a výstupem, viz Rovnice 1(a).
Ztrátové teplo7. Lq, které vzniká při tření (tekutina se zahřívá) zahřívá pracovní tekutinu. Ztrátové teplo pro případ Obrázku 1 odpovídá tlakové energii tlakové ztráty, viz Rovnice 1(b).
Tekutina třením o stěny kanálu působí třecí silou F na kanál ve směru proudění. Třecí síla pro případ Obrázku 1 odpovídá součinu rozdílu tlaku mezi vstupem a výstupem z kanálu (tlakové ztrátě) a průtočné plochy kanálu, viz Rovnice 1(c).
Pro běžnou technickou praxi má smysl se zabývat tlakovou ztrátou zejména při provozu potrubních sítí vybavenými různými armaturami – převážně touto problematikou se zabývá tento článek. Tlakovou ztrátu potrubní sítě stanovujeme proto, abychom dokázali stanovit tlak na konci potrubí a práci čerpadla či ventilátoru pro pokrytí energetických potřeb vzniku ztrátového tepla. Výpočet ztrátové tepla je důležitý i v kryogenice při dopravě zkapalněných plynů potrubím, protože ztrátové teplo tyto podchlazené tekutiny zahřívá a ty mohou ztrácet vlastnosti nebo se dokonce odpařovat. Ztrátu při proudění krve v těle kompenzuje činnost srdce a čím je vyšší, tím větší musí být i výkon srdce, respektive větší rozdíl mezi tlakem na vstupu a výstupu ze srdce (minimálním a maximálním tlakem neboli tzv. diastolický a systolický tlakem).
Při dopravě tekutin se příliš nemění hustota tekutiny, proto se vychází z teoriií pro nestlačitelnou tekutinu především z Bernoulliho rovnice. Při dopravě plynů se může hustota měnit na velmi dlouhých trasách plynovodů. V takových případech se obvykle řeší výpočet tlakové ztráty po úsecích [Mikula et al., 1974, s. 71], na kterých se vychází ze střední hustoty plynu nebo přesněji z rovnic pro tlakovou ztrátu při proudění plynů za přítomnosti tření, které jsou popsány v kapitolách na konci tohoto článku.
Postup výpočtu tlakové ztráty ve vyšetřovaném kanále se odvíjí podle toho, jestli je v kanále laminární7. a nebo turbulentní proudění7.. To lze zjistit podle hodnoty Reynoldsova čísla7. pro daný případ, pro jehož výpočet je nutné znát střední rychlost tekutiny7., charakteristický rozměr7. kanálu (v případě potrubí se jedná o průměr) a hodnotu kinematické viskozity7.. Jestliže je hodnota Reynoldsova čísla menší než je hodnota kritického Reynoldosova čísla7., pak bude proudění spíše laminární a naopak, jestliže je hodnota Reynoldsova čísla menší než je hodnota horního kritického Reynoldosova čísla7., pak bude proudění pravděpodobně turbulentní.
Dále identifikujeme tlakovou ztrátu v kanálech určené pro transformaci tlakové a kinetické energie tekutiny jako jsou trysky a difuzory případně lopatkové kanály, ale v těchto případech je tlaková ztráta definována nepřímo – problematika ztrát v těchto kanálech je popsána zejména v článcích Proudění plynů a par tryskami4., Proudění plynů a par difuzory5., v případě profilových mříží v článku [Škorpík, 2022a].
Z Navier-Stokesových rovnic7. lze snadno odvodit vztah pro výpočet tlakové ztráty pro případ laminárního ustáleného proudění jako funkci dynamického tlaku. Tato rovnice se nazývá Darcy-Weisbachova rovnice, kterou sestavil francouzský inženýr Henrym Darcym (1803-1858) pro potrubí, viz Rovnice 2. Později, na základě dlouhodobých experimentů a dedukce, potvrdil platnost tohoto vztahu německý inženýr Julius Weisbach (1806-1871) i pro proudění přechodové a turbulentní a dokonce i pro ztrátu v potrubních tvarovkách a ventilech.
Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je určitým podílem z dynamického tlaku, tento podíl se nazývá ztrátový součinitel. Pro kanály stálého průřezu, respektive potrubí, lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat podle rovnic uvedených v kapitole Výpočet ztrátového součinitele potrubí. Pro jiné typy kanálů, například kolena, ventily apod. se používají výsledky z měření viz kapitola Ztrátový součinitel místních odporů.
Ztrátový součinitel potrubí neměnného průřezu lze vypočítat podle Rovnice 3. Je tedy funkcí délky a průměru potrubí (za d se dosazuje charakteristický rozměr7., jestliže je potrubí nekruhového průřezu [Mikula et al., 1974, s. 91]) a veličiny zvané součinitel tření.
Součinitel tření potrubí pro případ laminárního proudění lze snadno odvodit z Navier-Stokesových rovnic, viz Rovnice 4. Při určování hodnoty ztrátového součinitele při turbulentním proudění se vychází ze závěru měření na sérii skleněných potrubí s uměle vytvořenou drsností pomocí pískového filmu, které provedl Johann Nikuradse. Nikuradse měřil tlakovou ztrátu několika potrubí s různými relativními drsnostmi povrchu pro vybraná Reynoldsova čísla a odtud vypočítal hodnoty součinitele tření λ podle Darcy-Weisbachova rovnice (Rovnice 2). Z těchto hodnot vytvořil diagram závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle a potvrdil existenci čtyři oblastí s různými závislostmi ztrátového součinitele na Reynoldsově čísle, viz Obrázek 4.
K výpočtu sučinitele tření v oblastech (C-D) na Obrázku 4 se používají poloempirické vztahy získané aproximací skutečně naměřených hodnot v Nikuradseho diagramu doplněného o další měření, která byla provedena. Přehled těchto rovnic je například uveden v [Štefan, 2009]. Existuje jedna univerzální rovnice s dostatečnou přesností pro běžnou technickou praxi, kterou sestavil Cyril Colebrook (1910-1997) [Míka, 1977, s. 150], viz Rovnice 5. Pro rychlý odečet hodnot součinitele tření bez nutnosti řešit Colerbrookovu rovnici vytvořil americký inženýr Lewis Moody (1880-1954) pomocí Colerbrookovy rovnice diagram vypočítaných hodnot součinitele tření, který se dnes označuje jako Moodyho diagram. Moodyho diagram je široce publikován on-line i knižně, například [Cihelka et al., 1975, s. 684], [Roček, 2002, s. 230].
Existence oblasti (C) mezi prouděním hydraulicky hladkým potrubím a hydraulicky drsným potrubím (oblast (D)) se vysvětluje následovně: V oblasti (C) probíhá vývoj turbulentního rychlostního profilu, respektive rozložení kinetické energie tekutiny v průtočném průřezu. V oblasti (D) je již vývoj dokončen a i při zvyšující se hodnotě Reynoldsova čísla se podíl kinetické energie tekutiny v mezní vrstvě ku kinetické energie v jádru proudu nemění.
Hodnoty mezních Reynoldsových čísel ReB, tedy přibližnou hranici mezi oblastmi (C) a (D) lze vypočítat dosazením rovnice pro λRP do Colebrookovy rovnice. Vybrané hodnoty takto vypočítaných mezních Reynoldsových čísel jsou uvedeny také v Tabulce 6.
C | 1·10-6 | 1·10-5 | 1·10-4 | 0,001 | 0,01 | 0,01 | 0,04 | 0,05 | ||
ReB | 2,62·109 | 2,22·108 | 1,82·107 | 1,42·106 | 2,28·105 | 1,02·105 | 1,95·104 | 1,48·104 |
ε | ε | ||||||
Tažené (nové) z: měď, mosaz, sklo | 0,001...0,002 | Litinové | 0,2..0,6 | ||||
Plast nebo pryž | 0,0015...0,007 | Ocelové pozinkované | 0,07...0,1 | ||||
Ocelové bezešvé válcované | 0,04...0,1 | Ocelové trubky korodované vyčištěné | 0,15...0,2 | ||||
Ocelové svařované podélným švem | 0,04...0,1 |
Není třeba hluboký rozbor Darcy-Weisbachovy rovnice, aby bylo zřejmé, že pro co nejnižší tlakovou ztrátu je výhodné dopravovat plyn při vyšších tlacích, respektive hustotách než při nízkých tlacích, ale vysokých rychlostech. Proto tlaky v tranzitních plynovodech jsou kolem 7 MPa a jeho tlak se redukuje až těsně před spotřebiči (viz Tabulka 9), které jsou z bezpečnostních důvodů konstruované na mnohem nižší tlaky.
p | p | |||||
Tranzitní plynovod | 7,5 | Středotlaký plynovod | 0,1...0,3 | |||
Vysokotlaký plynovod | 4 | Nízkotlaký (domácnosti) | 0,002 |
Pro základní návrhy potrubní trasy využívají projektanti veličinu měrná tlaková ztráta v potrubí označována πL. Měrná
tlaková ztráta odpovídá tlakové ztrátě v potrubí o délce 1 m, při plně vyvinuté mezní vrstvě pro předpokládaný součinitel tření, viz také Nomogram 10.
Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dalšími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení), armaturami, filtry, měřidly a dalšími
průtočnými částmi. V těchto částech potrubních tras vzniká tlaková ztráta podobně jako v přímém potrubí, viz Obrázek 11. Tyto tlakové ztráty bývají mnohem intenzivnější než na rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení tekutiny6.. Z pohledu tlakové ztráty se tyto prvky nazývají místní odpory. Za speciální případ místního odporu, lze považovat i vstupy a výstupy z trubky. Na okrajích je totiž proudění většinou neustálené a ovlivněné tvarem začátku či konce potrubí.
Tlakovou ztrátu místního odporu lze vypočítat také podle Rovnice 2. Při výpočtu tlakové ztráty vznikající v daném prvku se vychází ze střední rychlosti proudu před prvkem a ze ztrátového součinitele příslušného prvku.
U jednoduchých potrubních prvků lze jejich ztrátový součinitel ζ i vypočítat [Maštovský, 1964, s. 85], častěji se ale vychází z měření daného prvku při obvyklém provozním proudění, protože ztrátový součinitel se mění s Reynoldsovým číslem. Nicméně u některých prvků není vliv Reynoldsova čísla významný a lze použít tabelizované hodnoty, především pro armatury a potrubní tvarovky např. v [Cihelka et al., 1975, s. 672], [Miller et al., 1972, s. 252], [Řasa and Švercl, 2004, s. 737]. Příslušný ztrátový součinitel poskytuje výrobce daného potrubního prvku.
I při přesných výpočtech je i okraj potrubí brán jako místní odporu oprti rovnému potrubí. Ztrátové součinitele pro různé typy okrajů potrubí jsou uvedeny v [Ibler et al., 2002, s. 268].
V případě armatury obvykle výrobce také dodává přímo grafy závislosti její tlakové ztráty na průtoku (podle druhu
protékajícího média). Pokud je znám jmenovitý průtokový součinitel armatury6. KVS lze ztrátu v závislosti na průtoku vypočítat z uvedené definice. Popřípadě je možné odvodit ze zmíněné definice přímo Rovnici 12 pro ztrátový součinitel armatury. Jmenovitý průtokový součinitel se měří na úseku 2·d před armaturou a 8·d za armaturou, proto takto vypočítaný ztrátový součinitel zahrnuje i tuto délku potrubí. Takže skutečný ztrátový součinitel armatury je nižší o ztrátový součinitel odpovídající 10·d hladkého potrubí. Orientační hodnoty ztrátových součinitelů některých armatur jsou uvedeny v [Roček, 2002, s. 231, 232]. Existují ale i jiné typy součinitelů zpravidla odvozené od tlakové ztráty armatury. Záleží na výrobci jakou metodiku porovnávání armatur používá. Příslušné vztahy potom uvádí ve svém katalogu armatur, popřípadě uvede přímo diagram závislosti tlakové ztráty na průtoku armaturou.
Při výběru nejvhodnější uzavírací armatury se nejdříve stanoví povolená tlaková ztráta Lp při objemovém průtoku Q a hustotě proudícího média na vstupu ρ. Vypočítá se jmenovitý průtokový součinitel KVS. Dále se z katalogu armatur příslušného výrobce vybere armatura s nejbližším vyšším KVS.
Pro rychlý přibližný výpočet tlakové ztráty lze také použít veličinu zvanou ekvivalentní délka potrubí. Tato veličiny udává délku hladkého potrubí (vyjádřená jako počet průměrů hladkého potrubí) o stejném průměru jako je příruba vyšetřovaného místního odporu se stejnou tlakovou ztrátou jako místní odpor. Ekvivalentní délky potrubí některých armatur a potrubních tvarovek jsou uvedeny v [Izard, 1961], [Fraas, 1989], výběr pak v Tabulce 13. Výhodou je, že potom stačí jednotlivé ekvivalentní délky sečíst a vypočítat jejich celkovou tlakovou ztrátu jako by se jednalo o stejně dlouhé hydraulicky hladké potrubí, viz Úloha 1.
l·d-1 | l·d-1 | |||||
VENTILY PŘÍMÉ | ||||||
obyčejné | 340 | s šikmým vedení vřetena 60° od osy potrubí | 175 | |||
s vedením vřetena i v průtočné části | 450 | s šikmým vedení vřetena 45° od osy potrubí | 145 | |||
NÁROŽNÍ VENTILY | ||||||
obyčejné | 145 | s vedením vřetena i v průtočné části | 200 |
l·d-1 | l·d-1 | |||||
ŠOUPÁTKA | ||||||
obyčejné (dvě sedla) | 13 | pro plynovody | 3 | |||
pro velmi vazké kapaliny (jedno sedlo) | 17 | |||||
ZPĚTNÉ VENTILY | ||||||
se zpětnou klapkou | 35 | s kuličkou | 150 | |||
s plně otvíratelnou klapkou | 50 | se sacím košem deskový | 420 | |||
přímé | 340 | se sacím košem s klapkou | 75 | |||
nárožní | 145 | uzavírací klapky | 20 | |||
KOHOUTY | ||||||
obyčejné | 18 | třícestné | 140 | |||
POTRUBNÍ TVAROVKY | ||||||
90° koleno | 30 | rohové koleno (bez radiusu) | 57 | |||
45° koleno | 16 | 180° koleno (malé) | 50 | |||
90° koleno (velký rádius) | 20 | tvarovka T | 20 | |||
90° koleno s hrdlem (k pájení nebo šroubení) | 50 | tvarovka T (většina průtoku odbočuje do větve) | 60 | |||
45° koleno s hrdlem (k pájení nebo šroubení) | 26 | |||||
PRŮTOKOMĚRY | ||||||
turbínový | 150 | clonkový | 200 | |||
pístový (objemový) | 400 |
Z Darcyho-Weisbachovy rovnice vyplívá, že čím je vyšší střední rychlost proudění, tím je vyšší tlaková ztráta. Čím je vyšší tlaková ztráta, tím větší lze očekávat cenu za pořízení pracovního stroje (čerpadla, ventilátoru...) a hlavně jeho provoz, čím větší je průměr potrubí (snižuje se střední rychlost proudění), tím roste cena na pořízení potrubních tras a jejích armatur – přesný výpočet hospodárné rychlosti v potrubí na základě závislosti tlakové ztráty na této rychlosti je proveden například v [Krbek et al., 1999, s. 187]. Odtud vyplývají hodnoty obvyklých hospodárných rychlostí jako kompromis mezi náklady na překonání tlakových ztráta a pořizovacích nákladů na potrubí. Hodnoty hospodárných rychlostí pro různé pracovní látky lze nalézt např. v [Mikula et al., 1974, s. 141], výběr je pak uveden v Tabulce 14. Existují ale jiné důvodu pro nižší/vyšší rychlosti než je hospodárnost provozu, například dispoziční důvody apod.
Obvykle právě z navržené rychlosti proudění, hustoty a požadovaného měrného průtoku se vypočítá hospodárný průměr potrubí d, viz Nomogram 15. Vypočítaný průměr potrubí je nutné zaokrouhlit podle vyráběných průměrů trubek odpovídající tlaku a teplotě, při které bude potrubí provozováno.
V‾ | V‾ | |||||
Olej | 1...2 | Pára přehřátá do 4 MPa | 20...40 | |||
Voda | 1...4 | Pára přehřátá o vysokém tlaku | 30...60, 80 | |||
Pára topná o nízkém tlaku | 10...15 | Výfuková pára (po expanzi ve stroji) | 15...30 | |||
Pára sytá do 1 MPa | 15...20 | Vzduch (stlačený) | 2...15 |
Závislost tlakové ztráty v potrubní trase a ve všech místních odporech, které jsou v této trase vloženy na objemovém průtoku se nazývá charakteristika potrubního systému. Z rovnice pro výpočet tlakové ztráty je zřejmé, že při ρ=konst. bude tlaková ztráta kvadratickou funkcí s parametrem CS zvaným konstanta potrubního systému (jiný název měrný hydraulický odpor potrubní trasy), viz Rovnice 16.
Konstanta potrubního systému CS se většinou uvažuje jako konstanta pro dané otevření jednotlivých armatur, ale protože součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova čísla, musí se s průtokem měnit i CS. Tato změna není ovšem příliš velká pokud nás zajímá tlaková ztráta v oblasti jmenovitého průtoku. Pro výpočty ve větším rozsahu průtoků lze použít korekci, a to tak, že objemový průtok není umocněn 2, ale jiným exponentem, více v [Bašta, 2003, s. 25].
Konstantu potrubního systému lze vypočítat podle Rovnice 16 z jednotlivých tlakových ztrát potrubního systému pro známý (jmenovitý) průtok (viz Úloha 1) a nebo ji lze vypočítat z naměřené tlakové ztráty při konkrétním objemovém průtoku, viz Úloha 2.
1. | zadání: | ti; te; Qn; KVS,001; Lp,002; Lp,003; Lp,WM1; Lp,H1; l | 6. | výpočet: | ζpipe; Lpipe | |||||||
2. | odečet: | ν; ρ | 7. | výpočet: | Lp,001 | |||||||
3. | odečet: | d; ε | 8. | výpočet: | Lp,elbow | |||||||
4. | výpočet: | V¯; Re | 9. | výpočet: | Lp, n; CS | |||||||
5. | výpočet: | λ |
Potrubní charakteristiku, respektive rovnici závislosti tlakové ztráty Lp na objemovém průtoku Q, tedy rovnici Lp=f(Q), lze zjisti měřením pro několik případů. Následně lze toto měření zpracovat na počítači pomocí připraveného softwaru a nebo rovnici určity zakreslením naměřených dat na logaritmický papír, z proložené přímky těmito tady zjistit směrnici této přímky, která odpovídá mocnině průtoku, viz Úloha 2 a článek Technická matematika [Škorpík, 2021].
Lp | 10 | 25,1 | 62 | 140 | 320 | 700 | 1400 | |
Q | 19,64 | 29,64 | 50,07 | 74,61 | 113,9 | 161 | 233,7 |
1. | zadání: | Lp; Q | 4. | odečet: | x; P | |||||||
2. | zanesení: | Lp; Q do grafu | 5. | výpočet: | CS | |||||||
3. | aproximace: | hodnot Lp; Q přímkou |
Při určité rychlosti proudění kapalin v potrubích může dojít k jeho zanesení, jestliže proudící kapalina obsahuje látky, které se v potrubí uvolňují. Nánosy v potrubním systému způsobují zmenšení průtočného průřezu potrubí a tedy i změnu charakteristiky tohoto systému, respektive zvýšení tlakové ztráty. Na Obrázku 17 je uvedena změna tlakové ztráty v potrubí při rovnoměrném nánosu v potrubí – o stejná procenta zvýšení tlakové ztráty se přibližně zvýší i čerpací práce. Závislost na tomto obrázku byla vytvořena dosazením Darcy-Weisbachovy rovnice do podílu tlakové ztráty Lp po zúžení průtočného průřezu a tlakové ztráty Lp,n. Odtud je patrné, že vliv zúžení na tlakovou ztrátu roste s pátou mocninou. Naproti tomu i při zachování absolutní drsnosti je vliv změny součinitel tření o několik řádů nižší.
Zanesením potrubí může dojít důsledkem chemického nebo biologického působení a nebo obsahem tuhých částic v kapalině. V případě chemického či elektrochemického procesu dochází k vysrážení minerálů a jejich krystalizace na vnitřní plochách potrubí. Biologická usazenina na potrubí může být rostlinného i živočišného původu – většinou se jedná o nějaké druhy řas nebo korýšů a velmi zavísí na teplotě vody, obsahu živin ve vodě a případně řas i světelných podmínkách (usazování bakterií má na tlakové ztráty minimální vliv). Typickým znakem mechanického zanesení potrubní trasy tuhými nečistotami v kapalině je, že není rovnoměrně rozložená po celé délce potrubí jako bývá například po krystalizaci minerálů na stěny potrubí, ale jedná se obvykle o lokální záležitost potrubní trasy. Tuhé částice se usazují v místech s malou rychlostí proudění, v nejnižších bodech potrubní trasy odkud je proud kapaliny není schopen vytlačit a před zúženími.
Minimální stálá rychlost proudění k tomu aby nedošlo k usazování vodního kamene na stěny potrubí je přibližně 1,5 až 2,5 m·s-1 [Vosmík, 2023]. Nicméně při určitych kombinacích pH a teplot tato rychlost nemusí stačit. U mechanických nečistot velmi záleží i na orientaci potrubí a velikosti a hmotnosti jednotlivých zrn, podle [Pugh et al., 2009] lze zamezit usazovaní mechanických nečistot už od rychlostí kolem 1,5 m·s-1. Usazení biologického materiálu na stěnách potrubí lze zabránit při rychlostech nad 2 m·s-1. Podrobnosti o zanášení potrubí a výměníků včetně softwárových nástrojů jsou uvedeny v odkazech článku [Pugh et al., 2009].
Stálou rychlost proudění při nepravidleném odběru kapaliny lze udržet vytvořením smyček na ohrožených částech potrubí, ve kterých bude proudit kapalina i když její odběr poklesne. Prevenci zanešení potrubí lze provádět i úpravou pracovní kapaliny, filtry či změnou teplot, ale to už je mimo záběr tohoto článku.
V případě koroze potrubí lze očekávat zvýšení absolutní drsnosti potrubí bez změny dalších parametrů proudění, , pakliže úbytek materiálu výrazně nezvětší průměr potrubí. To znamená, že při konstatních hodnotách ostatních parametrů v Darcyho-Weisbachovy rovnice lze podíl tlakové ztráty Lp ku tlakové ztrátě při jmenovité (počáteční) Lp,n vyjádřit jako podíl součinitelů tření. Na Obrázku 18 je záznam změny tlakové ztráty v ocelovém potrubí při zvyšující se drsnosti kvůli korozi čištěné ocelové trubky (data z Tabulky 7), ze kterého je patrné, že koroze může zvětšit tlakovou ztrátu řádově o desítky procent.
Mimo dopravy tekutin se setkáváme s dynamickým proudem plynů, při kterém se i na velmi krátkém úseku mění hustota plynu. Jestliže se jedná o adiabatické proudění, pak lze vycházet při stanovení tlakové ztráty z toho, že celková entalpie plynu zůstává konstantní a rovna celkové entalpii na vstupu do kanálu, ale bude se zvyšovat entropie v důsledku vnitřního tření. Z rovnice kontinuity, energetické bilance a zachování hybnosti lze pro předpoklad konstantní měrné tepelné kapacity plynu odvodit pro takové proudění obecné Rovnice 19, které popisují proudění plynů za přítomnosti tření ve všech typech kanálů. Nicméně v technické praxi uvedené rovnice používáme jen při výpočtech proudění se velkými změnami hustoty v úzkých kanálech ucpávek. Je nutné zdůraznit, že platnost Rovnice 19 je
omezena na velikosti kanálů v řádech mnohem větších, než jsou velikosti molekul plynu, jinak nelze vycházet z termodynamiky plynů, které jsou odvozeny pro velké objemy a nikoliv pro jednotlivé molekuly.
Součinitel tření λ je v Rovnicích 19 předpokládán jako konstanta po celé délce kanálu, ale ve skutečnosti je více či méně závislý na Re a Machovu číslu ve vyšetřovaném místě kanálu. Záleží tedy jak moc se mění průtočný průřez kanálu a Machovo číslo. Experimentální ověření změn součinitele tření při stlačitelné proudění a platnosti Rovnic 19 je provedeno v [Jícha, 2001, s. 217].
V případě stlačitelného adiabatického proudění v kanále konstantního průřezu lze vypočítat tlakovou ztrátu pomocí Rovnice 20, která vychází z úpravy obecné Rovnice 19 pro podmínku dA=0.
V důsledku tření se bude při adiabatickém proudění plyn zahřívat, což bude způsobovat zvětšování jeho měrného objemu a v kanále konstantního průřezu současně i nárůst střední rychlosti, takže postupně bude klesat tlak a měrná statická entalpie.
Zakreslení stavů plynu v jednotlivých bodech osy kanálu v h-s diagramu označujeme jako Fannovu křivku (Fanno line). Na Obrázku 21 je takový záznam zobrazen pro kanál délky l a tři případy velikosti součinitele tření λ (stejný vliv jako změny součinitele tření má na změnu tlaku i prodlužování kanálu). Při maximálním součiniteli tření λ1 nedosáhne proudění na výstupu z kanálu kritické rychlosti, λ2 je takový, aby proudění na výstupu dosáhlo právě kritické rychlosti. Součinitel λ3 je menší jak λ2 a přesto proudění dosáhne na výstupu také jen kritické rychlosti.
V technické praxi je uvedená teorie uplatnitelná zejména při vyšetřovaní proudění v bezdotykových ucpávkách. Na vysoké tlakové ztrátě spojené s prouděním plynu ve velmi malé mezeře je také založen princip suchoběžných plynových ucpávek. Nicméně i labyrintové ucpávky lze připodobnit k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a s konkrétním součinitelem tření. Zde by měla být zdůrazněna skutečnost, že dosáhne-li rychlost na konci ucpávky kritické rychlosti neznamená to, že průtok ucpávkou už dále nelze snižovat. Je tomu právě naopak, je třeba prodloužit ucpávku nebo v případě labyrintové ucpávky přidat další komůrky labyrintu pro ještě větší snížení průtoku tím, že se zvýší součinitel tření λ (m1<m2<m3 atd). Maximálního průtoku by totiž bylo dosaženo při izoentropickém proudění (bez tření), při kterém samozřejmě také dojde ke kritickému proudění.