PROUDĚNÍ PLYNŮ A PAR TRYSKAMI

Úvod

Definice trysky

Dýza

Tryska – jiný frekventovaný název dýza – je kanál s plynulou změnou průtočného průřezu. Proudění tekutiny v trysce je děj, při kterém dochází především k poklesu tlaku a zvýšení kinetické energie tekutiny.

Konvergentní tryska

Kovergentně-divergentní tryska

Hugoniotův teorém

Základními tvary trysek jsou tryska konfuzorová (konvergentní), neboli zužující se, ve které probíhá podzvuková expanze a konvergentně-divergentní neboli Lavalova tryska pro nadzvukovou expanzi a jejíž tvar vychází z Hugoniotova teorému^3. pro kanál s nadzvukovým proudem.

Teorie trysek

Teorie trysek je dobře propracovaná a má i široké uplatnění v různých typech proudových strojů. Pomocí propracované teorie trysek lze totiž popsat i některé, na první pohled, složité proudění. Navíc pro trysky existuje velké množství naměřených dat.

Konvergentní (konfuzorová, zužující se) tryska

Vzhledem k tomu, že expanze v trysce je v technice frekventovaný problém vznikla teorie ideální expanze v trysce již v 19. století [Nožička, 2000]. Tato teorie popisuje změny stavových veličin v trysce, zejména rychlost a hmotnostní průtok. K návrhu tvaru trysky existuje více přístupů, zejména záleží na účelu trysky, technologické náročnosti její výroby a požadované maximální délce.

Rovnice pro výtokovou rychlost

Saint Vénantova-Wantzelova rovnice

Ze změn stavových veličin v trysce zakreslených v h-s diagramu je patrné, že rychlost plynu na výtoku z trysky závisí na tlaku na vstupu p_i a tlaku na výtoku p_e (protitlak) z trysky. Rovnici 1 pro výtokovou rychlost z trysky lze pak odvodit z rovnice Prvního zákona termodynamiky pro otevřený systém

(a) výpočet ze statického stavu plynu před tryskou; (b) výpočet z celkového stavu plynu před tryskou. e-stav v ústí trysky; i-stav na vstupu do trysky. A [m²] průtočný

Ve skutečnosti od poměru ε^*_s až do expanze do vakua (ε_s=0) je průtok konstantní a roven m^*, viz křivka a-b na Obrázku 5. Tlakový poměr, při kterém je dosažen maximální průtok plynu tryskou se nazývá kritický tlakový poměr (proto značka hvězdičky *). Rovnici pro kritický tlakový poměr lze odvodit z extrému Rovnice 3 pro průtok, viz Rovnice 5.

Odvození rovnice pro kritický tlakový poměr je uvedeno v Příloze 8.

Kritický tlakový poměr

Vodík

Vzduch

Pára

Kritický tlakový poměr je funkcí druhu plynu, protože poměr tepelných kapacit κ se u jednotlivých plynů liší. Hodnoty kritických tlakových poměrů pro ideální plyn lze odečíst z Tabulky 4, protože právě při nich dosahují hodnoty průtokového faktoru maximálních hodnot. Kritické tlakové poměry reálných plynů se mírně liší, například pro vodík je 0,527, suchý vzduch 0,528, přehřátou vodní páru 0,546, sytou vodní páru 0,577. Nicméně lze počítat s tím, že kritický tlakový poměr se pohybuje kolem hodnoty 0,5.

Tvary konvergetních trysek

Rychlostní pole

Obvyklé tvary zužujících se trysek jsou uvedeny na Obrázku 8. Tyto tvary lze aplikovat i na nekruhové kanály a lopatkové kanály. Ideální tvar trysky je plynulý, rovnoběžný s proudnicemi (na vstupu i výstupu, aby nedošlo ke vzniku turbulencí prudkou změnou směru proudění o stěnu) a takový, při kterém je dosaženo na výstupu rovnoměrné rychlostní pole. To znamená, že výstupní rychlost by měla být ve směru osy trysky, jak vyplývá z experimentů [Dejč, 1967, s. 319]. Tuto podmínku musí splňovat i proudnice blízko okraje trysky.

(a) kuželová tryska; (b) ideální tvar trysky; (c) Vitošinského tryska neboli Vitošinského konfuzor [Dejč, 1967, s. 320] ( rovnice platí pro l≥2·r_e); (d) tvar trysky jako lemniskáta ∞; (e) tvar trysek pro výtok z nádob (r_r≈1,5·r_e [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 80]). l [m] délka trysky; r [m] poloměr trysky; x [m] osová souřadnice trysky.

Kuželová tryska

Lemniskáta

Aerodynamický tunel

Kuželové trysky jsou výrobně jednoduché, ale mají horší součinitele průtoku (viz kapitola Proudění tryskou se ztrátami) než trysky tvaru podle Obrázku 8(b). Nejrovnoměrnější rychlostní pole na výstupu mají trysky tvaru Vitošinského (Obrázek 8(c)) a trysky tvaru lemniskáty (Obrázek 8(d)) – takové tvary trysek se používají jako přestupní kanál mezi dvěma kanály a pro ofukovací trysky v aerodynamických tunelech.

Konvergentně-divergentní tryska (Lavalova tryska)

Proudění při nadkritickém tlakovém poměru v konvergentní trysce

Jestliže tlak v okolí ústí konfuzorové trysky je nižší než kritický tlak, pak se v ústí trysky nastaví kritická (zvuková) rychlost a kritický tlak, takže plyn za tryskou dále expanduje a jeho rychlost se zvyšuje podle Rovnice 1 na nadzvukovou. Podle Hugoniotova teorému současně roste průtočný průřez takto

podzvuková M<1, v divergentní části nadzvuková M>1 a v hrdle mezi nimi rychlost zvuku M=1. h-s diagram K-D trysky má stejný tvar jako h-s diagram zužující se trysky na Obrázku 1, stejně tak platí i rovnice pro rychlost, akorát plyn při expanzi překonává kritické parametry.

Výtok z K-D trysky

Výtoková rychlost K-D trysky je nadzvuková a při výtoku do volného prostoru začne proudění ihned vytvářet šikmé rázové vlny – brzdění nadzvukového proudu o okolní plyn, viz Obrázek 11.

Obrázek z [Slavík, 1938, s. 23].

Používaných tvarů K-D trysek je více a opět závisí na účelu použití, technologické náročnosti výroby a maximální požadované délce trysky. Nicméně délka trysky také ovlivňuje její provozní rozsah, protože při jiném než návrhovém stavu tj. nenávrhovém stavu v K-D trysce nebo jejím okolí vznikají efekty spojené s vysokou rychlostí.

Tvary divergentních trysek

Ideálním tvarem K-D trysky je tvar sestrojený tzv. metodou charakteristik, nicméně tento tvar je velmi náročný na výpočet i výrobu. Naopak nejjednodušším tvarem je kuželová tryska, zvonové trysky jsou zase obvyklé v raketové technice.

Metoda charakteristik

Rychlostní pole

Aerodynamický tunel

Tvar K-D trysek vymodelovaný metodou charakteristik (Obrázek 12) je ideálním tvarem. Trysky navržené touto metodou mají totiž rovnoměrné rychlostní pole na výstupu. Metoda charakteristik je založena na postupné konstrukci expanzních vln^3., tyto vlny jsou na Obrázku 12 zakresleny modře. Okrajovou podmínkou této metody je zadaný počáteční poloměr r_r při α_e=0° (podmínka výstupní rychlosti v osovém směru) a průtočný průřez na výstupu A_e [Dejč, 1967, s. 341], [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 79]. Nevýhodou je, že délka takové trysky je mnohem větší než trysky kuželové, takže v důsledku vnitřního tření může být její účinnost nižší než u kuželových trysek, proto se tento tvar trysek používá prakticky jen v nadzvukových aerodynamických tunelech, kde je rovnoměrné rychlostní pole na výtoku velmi důležité.

Hoffman, 1981]); obě rovnice jsou polynomy druhého stupně (paraboly), viz Obrázek 14. V případě okrajových podmínek pro rovnice Rao jsou výstupní a vstupní úhel na sobě závislé (α_t=f(α_e)). Výběr optimální dvojice vstupního α_t a výstupního úhlu α_e je možný z délky ekvivalentní kuželové trysky při α=30°, viz tabulky a grafy v [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 80]. V případě rovnice Allman-Hoffman stačí k řešení pouze vstupní úhel α_t. Tryska navržená podle rovnice Allaman-Hoffman má asi o 0,2 % menší výstupní hybnost plynu v osovém směru při expanzi do vakua než tryska navržená podle rovnice Rao [Haddad, 1988], ale snadněji se s ní pracuje při hledání optimálního tvaru trysky při velkém množství kombinací vstupních parametrů pracovního plynu. Zvonová tryska je kratší než kuželová tryska, přesto má větší účinnost i hybnost v osovém směru.

(a) rovnice obrysu trysky podle Rao; (b) rovnice obrysu trysky podle Allman-Hoffman; (c) okrajové podmínky pro výpočet konstant a₁..a₄ nebo b₁..b₃.

Konvergentně-divergentní tryska

Konvergentně-divergentní tryska

Podexpandovaná tryska

Jestliže tlak na výstupu p_e je nižší než návrhový tlak p_en, pak hovoříme o tom, že tryska je podexpandovaná (tryska byla navržena na "kratší" expanzi, než je skutečnost). V případech, kdy je protitlak nižší než návrhový, bude expanze za tryskou dále pokračovat, podobně jako v případě obyčejné trysky.

Vliv protitlaku na tah raketového motoru

Kritický průřez trysky

Změna protitlaku se projevuje i na konstrukci trysek raketových motorů. Během letu rakety v atmosféře se mění podle výšky vnější tlak, proto jsou trysky prvního stupně navrženy na expanzi do tlaku atmosférického (při zemi) a stupně následujícího na tlak mnohem nižší. Poslední stupeň je navržen pro expanzi do vakua [Tomek, 2009]. Čím větší rozsah tahu nabízí raketový motor, tím více musí být jeho tryska podexpandována. Při kolmém přistání rakety s málo podexpandovanou tryskou, proto musí být velmi přesný výpočet zážehu přistávacího motoru, protože jeho tah je de facto konstantní, takže zrychlení rakety a tah motoru se musí rovnat právě při dotyku se zemí.

Přeexpandovaná tryska

Rázová vlna

x [m] souřadnice osy x.

Proudění v šikmo seříznuté trysce

Tvary šikmo seříznutých trysek

Expanzní vlny

Prandtl-Meyerovy funkce

Machův úhel

Při nadzvukovém proudění v šikmo seříznuté trysce dochází k odklonu proudu od osového směru v důsledku expanzní vlny^3., která vzniká na hraně kratší strany trysky, viz Obrázek 16. Situace u šikmo seříznuté K-D trysky je totožná s obtékáním tupého úhlu nadzvukovou rychlostí. Expanze plynu z tlaku p₁ započne na linii A-C a dokončí se na linii A-C', na které se nastaví tlak p₂. Šikmo seříznutá K-D tryska není tedy tak citlivá na změnu protitlaku jako neseříznutá K-D tryska. Postup výpočtu úhlu δ je uveden např. v [Kadrnožka, 2004, Rovnice 3.6-10] nebo lze použít i Prandtl-Meyerovy funkci^3..

Škrcení

dochází k nežádoucím transformacím energie na stejném principu jako při škrcení^6., což také vede na zvyšování entropie.

Kritická rychlost v trysce při proudění se ztrátami

Rychlostní profil

Při proudění ze ztrátami se v trysce vytváří rychlostní profil, takže při tlaku p^*_is může nastat v jádru proudu rychlost zvuku přičemž na okrajích (v blízkosti stěn) je rychlost podzvuková a střední rychlost v hrdle trysky je menší, než je rychlost zvuku, respektive střední kinetická energie plynu je nižší, než odpovídá energii při rychlosti zvuku. Až při tlaku p^*, který je nižší než je p^*_is, je střední kinetická energie plynu taková, že odpovídá rychlosti zvuku v celém průtočném průřezu plynu. Navíc, jestliže v kritickém bodě h^* má plyn jiné termokinetické vlastnosti než v bodě h^*_is, pak kinetická energie rychlosti zvuku bude jiná než při izoentropické expanzi. To znamená, že se změní i entalpie h*≠h*_is, ale tyto rozdíly mezi uvedenými body jsou velmi malé.

Účinnost trysky

Rychlostní součinitel

Ztrátu lze vypočítat z energetických parametrů trysky, kterými jsou rychlostní součinitel φ a účinnost trysky η, tyto dvě veličiny jsou definovány Rovnicí 18.

φ [1] rychlostní součinitel; η [1] účinnost trysky. Hodnoty rychlostního součinitele φ pro trysky jsou uvedeny v [Dejč, 1967, s. 328] pro zužující se trysky a v [Dejč, 1967, s. 348] pro K-D trysky.

Divergentní tryska

Účinnost trysky

Kontrakce proudu

Vena contracta

Hmotnostní tok tryskou se může snížit nejen v důsledku vnitřního tření v tekutině, ale i v důsledku zúžení neboli kontrakce proudu (vena contracta) za hrdlem trysky [Jarkovský, 1958 s. 14]. Toto zúžení je způsobeno setrvačností proudu a působením okolí a má stejný dopad na průtok jako zmenšení průtočného průřezu trysky, viz Obrázek 19. U dobře provedených trysek je zúžení proudu velmi malé (A_min≈A'_min), naopak významné je u clon.

Lopatkové kanály jednoho stupně turbíny lze přirovnat ke dvou tryskám pracující v sérii, což znamená, že se jedná o trysky se stejným průtokem. Stejný předpoklad lze aplikovat i na skupinu s více stupni, respektive na více trysek řazených za sebou, přičemž průtok lopatkovými kanály rotoru se počítá z relativní rychlosti [Škorpík, 2022].

Uspokojivého výsledku přibližného výpočtu změny průtoku větší skupinou stupňů lze dosáhnout při zavedení dvou zjednodušujících předpokladů. Prvním je předpoklad adiabatické expanze a její konstantní hodnota exponentu polytropy i při změně průtoku. Druhým předpokladem je zjednodušení postupné změny měrného objemu plynu ve stupni na změnu skokovou, při které se měrný objem mění skokově vždy na výstupu z lopatkového kanálu, viz Obrázek 22.

(a) průběh změny měrného objemu ve vícestupňové turbíně; (b) změna měrného objemu ve vícestupňové turbíně podle zjednodušujícího předpokladu. R-označení rotorové řady lopatek; S-označení statorové řady lopatek. n [-] exponent polytropy proudění skupinou stupňů; x [m] délka vyšetřované skupiny stupňů. Indexy: i-stav na vstupu do vyšetřované skupiny stupňů; k-tý stupeň turbíny; nom-jmenovitý stav; z-počet stupňů turbíny. Odvození rovnice pro přibližný výpočet změny průtoku velkou skupinou stupňů turbíny je uvedeno v [Ambrož, et al., 1956, s. 315].

Obecná Rovnice 22 má tu nevýhodu, že její řešení je velmi pracné v podobě iteračního výpočtu, do kterého vstupují odhady hodnot výstupních stavových veličin s hledáním kořene polynomu s obecným (necelým) exponentem. Řešením je zjednodušení Rovnice 22 použitím Bendemannovy elipsy na Rovnici 23. Řešení Rovnice 23 vede na snadnější hledaní kořene kvadratické rovnice.

Odvození je uvedeno v [Kadrnožka, 1987, s. 181].

Jestliže na poslední lopatkové řadě skupiny stupňů nastane kritický tlakový poměr, pak lze na tuto skupinu stupňů aplikovat

horkých spalin (Obrázek 26). Vektor tahu se u motorů s TPL často reguluje pomocí šikmé rázové vlny řízeně vznikající vstřikováním kapaliny na vnitřní stranu trysky. Hvězdičkový průřez náplně paliva umožňuje postupné odhořívání palivové směsi a stabilní hoření. Tento hvězdicový tvar byl soustavně vyvíjen za druhé světové války v Anglii a vyvrcholil konstrukci balistické rakety na TPL typu Sergant [Holt, 2017, s. 94-110].

1-spalovací komora; 2-směs paliva a okysličovadla; 3-kritický průřez trysky; 4-K-D tryska.

Nevýhodami motorů s TPL jsou omezená možnost regulace tahu a motor lze zažehnou jen jednou. Na druhou stranu jsou jednodušší než motory na kapalná paliva a především pohotovější (odpadá tankování paliva před startem) a mají i výrazně vyšší životnost při skladování, což je důležité pro vojenské využití. Existují i hybridní raketové motory, kde palivo je v tuhé formě a okysličovadlo je přiváděno z externí nádrže, tímto způsobem lze lépe regulovat tah. Motory na TPL lze také opakovaně používat, například první stupně raketoplánu Space shutle, tzv. motory SRB, na druhou stranu jsou čast o výrazně náročnější na materiály.

Odkazy