PROUDĚNÍ PLYNŮ A PAR TRYSKAMI

Co jsou trysky a další využití teorie trysek

Tryska – jiný frekventovaný název dýza – je kanál s plynulou změnou průtočného průřezu. Proudění tekutiny v trysce je děj, při kterém dochází především k poklesu tlaku a zvýšení kinetické energie tekutiny. Teorie trysek je dobře propracovaná a má i široké uplatnění v různých typech proudových strojů.

Tvary trysek závisí především na požadované výtokové rychlosti

Základními tvary trysek jsou tryska konfuzorová (konvergentní), neboli zužující se, ve které probíhá podzvuková expanze a konvergentně-divergentní neboli Lavalova tryska pro nadzvukovou expanzi a jejíž tvar vychází z Hugoniotovy věty pro kanál s nadzvukovým proudem.

Využití teorie trysek

Pomocí propracované teorie trysek lze popsat i některé, na první pohled, složité proudění, například v lopatkových kanálech a raketových motorech. Navíc pro trysky existuje velké množství naměřených dat.

Konfuzorová tryska

Vzhledem k tomu, že expanze v trysce je v technice frekventovaný problém vznikla teorie ideální expanze v trysce již v 19. století [Nožička, 2000]. Tato teorie popisuje změny stavových veličin v trysce, zejména rychlost a hmotnostní tok. Navíc lze i teoreticky zdůvodnit vznik tzv. kritického stavu proudění v trysce, při kterém dosáhne tryska maximálního hmotnostního toku. K návrhu tvaru trysky existuje více přístupů, zejména záleží na účelu trysky, technologické náročnosti její výroby a požadované maximální délce.

  ~  

Výpočet výtokové rychlosti trysky

Ze změn stavových veličin v trysce zakreslených v h-s diagramu je patrné, že rychlost plynu na výtoku z trysky závisí na vtokovém tlaku p_i a výtokovém tlaku p_e (protitlak) z trysky. Rovnici 101, s. 4 pro výtokovou rychlost z trysky lze pak odvodit z rovnice Prvního zákona termodynamiky pro otevřený systém nebo z Bernoulliho rovnice v případě proudění kapaliny. Tato rovnice je odvozena pro dokonalou expanzi ideálního plynu bez vlivu tíhy.

  ~  

Kritický stav proudění v trysce

Z rovnice pro hmotnostní tok, respektive průběhu výtokového součinitele, vyplývá, že by s klesajícím tlakem za tryskou p_e měl hmotnostní tok plynu m růst pouze do určitého tlakového poměru ε_s, potom by měl průtok začít klesat, viz křivka 1-a-0 na Obrázku 515. Ve skutečnosti od poměru ε^*_s až do expanze do vakua (ε_s=0) je průtok konstantní a roven m^*, viz křivka a-b na Obrázku 515. Tlakový poměr, při kterém je dosažen maximální hmotnostní tok plynu tryskou neboli kritický stav proudění se nazývá kritický tlakový poměr (proto značka hvězdičky *). Rovnici pro kritický tlakový poměr lze odvodit z extrému Rovnice 334, s. 4 pro průtok, viz Rovnice 515.

– 515: –

Průběh hmotnostního toku tryskou

A* [m²] nejměnší průtočný průřez trysky. Odvození rovnice pro kritický tlakový poměr ε*_s je uvedeno v Příloze 515.

Výpočet hmotnostního toku tryskou pomocí kritického hmotnostního toku

Křivka 1-a-0 z Obrázku 515 je tvarem velice blízkou elipse, proto se v inženýrské praxi, pro zrychlení a zjednodušení výpočtu trysky, úsek 1-a často nahrazuje části elipsy, která se nazývá Bendemannovou elipsou, viz Rovnice 162, jejíž platnost je omezena na rozsah p_e≥p^*.

– 162: –

Bendemannova elipsa

Odvození rovnice pro Bendemannovu elipsu je uvedeno v Příloze 162.

Hodnoty kritických tlakových poměrů

Kritický tlakový poměr je funkcí druhu plynu, protože poměr tepelných kapacit κ se u jednotlivých plynů liší. Hodnoty kritických tlakových poměrů pro ideální plyn lze vypočítat pomocí Vzorce 515. Kritické tlakové poměry reálných plynů se mírně liší, například pro vodík je 0,527, suchý vzduch 0,528, přehřátou vodní páru 0,546, sytou vodní páru 0,577. Nicméně lze počítat s tím, že kritický tlakový poměr se pohybuje kolem hodnoty 0,5.

  ~  

Tvary konfuzorových trysek

Obvyklé tvary zužujících se trysek jsou uvedeny na Obrázku 475. Tyto tvary lze aplikovat i na nekruhové kanály a lopatkové kanály. Ideální tvar trysky je plynulý, rovnoběžný s proudnicemi (na vtoku i výtoku, aby nedošlo ke vzniku turbulencí prudkou změnou směru proudění o stěnu) a takový, při kterém je dosaženo na výtoku rovnoměrného rychlostního profilu. To znamená, že výstupní rychlost by měla být ve směru osy trysky, jak vyplývá z experimentů [Dejč, 1967, s. 319]. Tuto podmínku musí splňovat i proudnice blízko okraje trysky.

– 475: –

(a) kuželová tryska; (b) ideální tvar trysky; (c) Vitošinského tryska neboli Vitošinského konfuzor [Dejč, 1967, s. 320] (rovnice platí pro l≥2·r_e); (d) tvar trysky jako lemniskáta ∞; (e) tvar trysek pro výtok z nádob (r_r≈1,5·r_e [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 80]). l [m] délka trysky; r [m] poloměr; x [m] osová souřadnice.

Výhody a nevýhody jednotlivých tvarů trysek

Kuželové trysky jsou výrobně jednoduché, ale dochází u nich ke kontrakci proudu (viz kapitola Proudění tryskou se ztrátami, s. 14) než trysky tvaru podle Obrázku 475b. Nejrovnoměrnější rychlostní pole na výstupu mají trysky tvaru lemniskáty, kterou lze přibližně popsat Vitošinského vzorcem (Obrázek 475c) – takové tvary trysek se používají jako přestupní kanál mezi dvěma kanály a pro ofukovací trysky v aerodynamických tunelech.

– 983: –

Obrázek z [Slavík, 1938, s. 23].

  ~  

Tvary Lavalových trysek

Ideálním tvarem Lavalovy trysky je tvar sestrojený tzv. metodou charakteristik, nicméně tento tvar je velmi náročný na výpočet i výrobu. Naopak nejjednodušším tvarem je kuželová tryska, zvonové trysky jsou zase obvyklé v raketové technice.

Lavalovy trysky navržené metodou charakteristik

Tvar Lavalových trysek vymodelovaný metodou charakteristik (Obrázek 993) je ideálním tvarem. Trysky navržené touto metodou mají totiž rovnoměrné rychlostní profil na výstupu. Metoda charakteristik je založena na postupné konstrukci expanzních vln, tyto vlny jsou na Obrázku 993 zakresleny modře. Okrajovou podmínkou této metody je zadaný počáteční poloměr r_r při α_e=0° (podmínka výstupní rychlosti v osovém směru) a průtočný průřez na výstupu A_e [Dejč, 1967, s. 341], [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 79]. Nevýhodou je, že délka takové trysky je mnohem větší než trysky kuželové, takže v důsledku vnitřního tření může být její účinnost nižší než u kuželových trysek, proto se tento tvar trysek používá prakticky jen v nadzvukových aerodynamických tunelech, kde je rovnoměrné rychlostní pole na výtoku velmi důležité.

– 993: –

α [°] úhel rozšíření trysky; t [m] vstupní délka rozšiřující se části trysky (obvykle kruhový obrys o poloměru r_r≈0,382·r* [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 80]). Odvození rovnic pro r_t a t jsou uvedeny v Příloze 993.

Zvonové Lavalovy trysky

Zvonová tryska je především tvarem trysek raketových motorů. Tvar této trysky je navržen buď podle rovnice Rao (podle G.V.R. Rao, který tuto rovnici sestavil na základě experimentů [Rao, 1958], [Meerbeeck et al., 2013]), nebo podle rovnice Allman-Hoffman (podle Allman J. G. a Hoffman J. D., kteří rovnici odvodili zjednodušením rovnice Rao [Allman and Hoffman, 1981]); obě rovnice jsou polynomy druhého stupně (paraboly), viz Obrázek 335. V případě okrajových podmínek pro rovnice Rao jsou výstupní a vstupní úhel na sobě závislé (α_t=f(α_e)). Výběr optimální dvojice vstupního α_t a výstupního úhlu α_e je možný z délky ekvivalentní kuželové trysky při α=30°, viz tabulky a grafy v [Sutton and Biblarlz, 2010, s. 80]. V případě rovnice Allman-Hoffman stačí k řešení pouze vstupní úhel α_t. Tryska navržená podle rovnice Allaman-Hoffman má asi o 0,2 % menší výstupní hybnost plynu v osovém směru při expanzi do vakua než tryska navržená podle rovnice Rao [Haddad, 1988], ale snadněji se s ní pracuje při hledání optimálního tvaru trysky při velkém množství kombinací vstupních parametrů pracovního plynu. Zvonová tryska je kratší než kuželová tryska, přesto má větší účinnost i hybnost v osovém směru.

– 335: –

(a) rovnice obrysu trysky podle Rao; (b) rovnice obrysu trysky podle Allman-Hoffman; (c) okrajové podmínky pro výpočet konstant a₁..a₄ nebo b₁..b₃.

  ~  

Nenávrhové stavy Lavalových trysek

U správně navržené Lavalovy trysky dosáhne v ústí trysky tlak proudící tekutiny právě tlaku p_e,n (návrhový tlak). Nenávrhovým stavem trysky je tedy myšlen stav, kdy se mění vstupní parametry plynu nebo výstupní parametry plynu nebo oba parametry najednou. Tyto parametry se mohou měnit z různých příčin (regulace průtoku tryskou apod). Celkem mohou nastat dva základní případy nenávrhových stavů Lavalovy trysky a to přeexpandovaný stav a podexpandovaný stav.

Podexpandovaný stav trysky

Jestliže tlak na výstupu p_e je nižší než návrhový tlak p_en, pak hovoříme o tom, že tryska je podexpandovaná (tryska byla navržena na "kratší" expanzi, než je skutečnost). V případech, kdy je protitlak nižší než návrhový, bude expanze za tryskou dále pokračovat, podobně jako v případě konfuzorové trysky.

Podexpandovaný stav trysek raketových motorů

Změna protitlaku se projevuje i na konstrukci trysek raketových motorů. Během letu rakety v atmosféře se mění podle výšky vnější tlak, proto jsou trysky prvního stupně navrženy na expanzi do tlaku atmosférického (při zemi) a stupně následujícího na tlak mnohem nižší. Poslední stupeň je navržen pro expanzi do vakua. Čím větší rozsah tahu nabízí raketový motor, tím více musí být jeho tryska podexpandována. Při kolmém přistání rakety s málo podexpandovanou tryskou, proto musí být velmi přesný výpočet zážehu přistávacího motoru, protože jeho tah je de facto konstantní, takže zrychlení rakety a tah motoru se musí rovnat právě při dotyku rakety se zemí.

Proudění v šikmo seříznuté trysce

Při nadzvukovém proudění v šikmo seříznuté trysce dochází k odklonu proudu od osového směru δ v důsledku expanzní vlny, která vzniká na hraně kratší strany trysky, viz Obrázek 106. Situace u šikmo seříznuté Lavalovy trysky je totožná s obtékáním tupého úhlu nadzvukovou rychlostí. Postup výpočtu odklonu proudu od osového směru δ je uveden např. v [Kadrnožka, 2004, Rovnice 3.6-10] nebo lze použít i Prandtl-Meyerovy funkci.

– 106: –

vlevo-konfuzorová tryska; vpravo-konvergentně-divergentní tryska. α [°] úhel seříznutí trysky; μ [°] Machův úhel; δ [°] odklon proudu od osy trysky. Expanze plynu z tlaku p₁ započne na linii A-C a dokončí se na linii A-C', na které se nastaví tlak p₂. Šikmo seříznutá Lavalova tryska není tedy tak citlivá na změnu protitlaku jako neseříznutá Lavalova tryska.

Vliv vnitřního tření na účinnost trysky

Ztrátu lze vypočítat z energetických parametrů trysky, kterými jsou rychlostní součinitel φ a účinnost trysky η, tyto dvě veličiny jsou definovány Rovnicí 569.

– 569: –

φ [1] rychlostní součinitel; η [1] účinnost trysky. Hodnoty rychlostního součinitele φ pro trysky jsou uvedeny v [Dejč, 1967, s. 328] pro zužující se trysky a v [Dejč, 1967, s. 348] pro Lavalovy trysky.

  ~  

Snížení hmotnostního toku tryskou kvůli kontrakci proudu

Hmotnostní tok tryskou se může snížit nejen v důsledku vnitřního tření v tekutině, ale i v důsledku zúžení neboli kontrakce proudu (vena contracta) za hrdlem trysky [Jarkovský, 1958 s. 14]. Toto zúžení je způsobeno setrvačností proudu, působením okolí, nárůstem tloušťky mezní vrstvy v hrdle a má stejný dopad na průtok jako zmenšení průtočného průřezu trysky, viz Obrázek 761. U dobře provedených trysek je zúžení proudu velmi malé (A_min≈A'_min), naopak významné je u clon.

– 761: –

A'_min [m²] průtočný průřez ve zúžení proudu.

Výpočet hmotnostního toku tryskou pomocí průtokového součinitele trysky

Skutečný průtok tryskou se vypočítá pomocí součinitele průtoku, který zahrnuje vliv vnitřního tření i zúžení proudu. Součinitel průtoku je definován jako podíl skutečného průtoku tryskou ku průtoku při izoentropické expanzi bez zúžení proudu, viz Rovnice 478. Hodnoty průtokových součinitelů některých typů trysek a clon jsou uvedeny v [Dejč, 1967], [Jarkovský, 1958].

– 478: –

μ [1] průtokový součinitel trysky; m^•_is [kg·s^-1] průtok tryskou při proudění beze ztrát.

Zjednodušující předpoklady k užití teorie trysek pro výpočet změny hmotnostního toku skupinou stupňů turbíny

Uspokojivého výsledku přibližného výpočtu změny hmotnostního toku větší skupinou stupňů lze dosáhnout při zavedení dvou zjednodušujících předpokladů. Prvním je předpoklad adiabatické expanze a její konstantní hodnota exponentu polytropy i při změně hmotnostního toku. Druhým předpokladem je zjednodušení postupné změny měrného objemu plynu v ve stupni na změnu skokovou, při které se měrný objem mění skokově vždy na výtoku lopatkového kanálu, viz Obrázek 1273. Na základě těchto zjednodušení lze odvodit Vzorec 994.

– 1273: –

(a) průběh změny měrného objemu ve vícestupňové turbíně; (b) změna měrného objemu ve vícestupňové turbíně podle zjednodušujícího předpokladu. v [m³·kg^-1] měrný objem pracovního plynu; x [m] délka vyšetřované skupiny stupňů.

– 994: –

Indexy: nom-jmenovitý stav. Odvození vzorce pro přibližný výpočet změny průtoku velkou skupinou stupňů turbíny je uvedeno v [Ambrož, et al., 1956, s. 315].

Aplikace Bendemanovy elipsy při výpočtu změny hmotnostního toku skupinou stupňů turbín

Obecný Vzorec 994 má tu nevýhodu, že jeho řešení je velmi pracné v podobě iteračního výpočtu, do kterého vstupují odhady hodnot výstupních stavových veličin s hledáním kořene polynomu s obecným (necelým) exponentem. Řešením je zjednodušení Vzorce 994 použitím Bendemannovy elipsy na jednodušší kvadratickou Rovnici 995.

– 995: –

Odvození je uvedeno v [Kadrnožka, 1987, s. 181].

Výpočet změny hmotnostního toku skupinou stupňů turbín při kritickém proudění

Jestliže na poslední lopatkové řadě skupiny stupňů nastane kritický tlakový poměr, pak lze na tuto skupinu stupňů aplikovat poznatky pro kritický průtok tryskou. To znamená, že rovnice pro průtok by měla být stejná, jako když se jedná o výtok do vakua (p_e=0), viz Vzorec 996.

– 996: –

Odvozeno z Rovnice 995 pro expanzi do vakua p_e=0.

Stodolovo pravidlo

Uvedené vzorce pro průtok skupinou trysek poprvé odvodil Auler Stodola, a proto se označují jako Stodolovo pravidlo.

  ~  

Raketové motory na tuhé pohonné látky

Existují i raketové motory na tuhé pohonné látky (TPL), ve kterých probíhá postupné odhořívání palivové směsi za vzniku velmi horkých spalin (Obrázek 511). Vektor tahu se u motorů s TPL často reguluje pomocí šikmé rázové vlny řízeně vznikající vstřikováním kapaliny na vnitřní stranu trysky. Hvězdičkový průřez náplně paliva umožňuje postupné odhořívání palivové směsi a stabilní hoření. Tento hvězdicový tvar byl soustavně vyvíjen za druhé světové války v Anglii a vyvrcholil konstrukci balistické rakety na TPL typu Sergant [Holt, 2017, s. 94-110].

– 511: –

1-spalovací komora; 2-směs paliva a okysličovadla; 3-kritický průřez trysky; 4-Lavalova tryska.

Možnosti regulace tahu raketových motorů na TPL

Nevýhodami motorů s TPL jsou omezená možnost regulace tahu a motor lze zažehnou jen jednou. Na druhou stranu jsou jednodušší než motory na kapalná paliva a především pohotovější (odpadá tankování paliva před startem) a mají i výrazně vyšší životnost při skladování, což je důležité pro vojenské využití. Existují i hybridní raketové motory, kde palivo je v tuhé formě a okysličovadlo je přiváděno z externí nádrže, tímto způsobem lze lépe regulovat tah. Motory na TPL lze také opakovaně používat, například první stupně raketoplánu Space shutle, tzv. motory SRB.

Odkazy